6维ukf ekf 比较展示matlab代码，给出具体函数

### 回答1：
在展示6维UKF和EKF比较之前，我们需要了解两种算法的基本概念和步骤。

EKF (Extended Kalman Filter)是卡尔曼滤波（Kalman Filter）的扩展版本，主要用于非线性系统的状态估计。它通过一阶泰勒展开，将非线性系统转化为线性系统，然后使用标准的卡尔曼滤波算法进行估计。

UKF (Unscented Kalman Filter)同样是卡尔曼滤波的扩展版本，也用于非线性系统的状态估计。它采用一种无需进行线性化的方法来处理非线性系统，通过对状态变量进行加权采样来近似非线性系统的状态分布，从而实现状态估计。

下面是在Matlab中实现6维UKF和EKF的示例代码。

EKF：

% 定义状态方程
f = @(x)[x(1)+x(2)*sin(x(3));x(2)+x(4)*cos(x(3));x(3)+x(5);x(4)+x(6);x(5);x(6)];

% 定义观测方程
h = @(x)[x(1);x(2);x(3)];

% 定义系统噪声和测量噪声
Q = diag([0.1,0.1,0.01,0.01,0.01,0.01]);
R = diag([1,1,1]);

% 初始化
x = [0;0;0;0;0;0];
P = diag([1,1,1,1,1,1]);
N = length(x);
M = length(h(x));
t = 0:0.1:10;
Nsamples = length(t);

% 生成真实数据
for k = 1:Nsamples
    x_true(:,k) = [sin(k/10);cos(k/10);k/10;0.1*sin(k/5);0.1*cos(k/5);0.1*(k/10)^2];
end

% 生成测量数据
for k = 1:Nsamples
    z(:,k) = h(x_true(:,k)) + sqrt(R)*randn(M,1);
end

% EKF算法
for k = 2:Nsamples
    % 预测
    [x_pred,A] = jaccsd(f,x); % 计算状态转移矩阵
    P_pred = A*P*A' + Q; % 计算预测协方差矩阵

    % 更新
    H = jaccsd(h,x_pred); % 计算观测矩阵
    K = P_pred*H'/(H*P_pred*H' + R); % 计算卡尔曼增益矩阵
    x(:,k) = x_pred + K*(z(:,k) - h(x_pred)); % 计算最优估计
    P = (eye(N) - K*H)*P_pred; % 计算卡尔曼增益矩阵
end

% 绘制结果
figure;
plot(t,x_true(1,:),'r',t,x(1,:),'b');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Position (m)');
title('EKF Position Estimation');
legend('True','Estimate');

UKF：

% 定义状态方程
f = @(x)[x(1)+x(2)*sin(x(3));x(2)+x(4)*cos(x(3));x(3)+x(5);x(4)+x(6);x(5);x(6)];

% 定义观测方程
h = @(x)[x(1);x(2);x(3)];

% 定义系统噪声和测量噪声
Q = diag([0.1,0.1,0.01,0.01,0.01,0.01]);
R = diag([1,1,1]);

% 初始化
x = [0;0;0;0;0;0];
P = diag([1,1,1,1,1,1]);
N = length(x);
M = length(h(x));
t = 0:0.1:10;
Nsamples = length(t);

% 生成真实数据
for k = 1:Nsamples
    x_true(:,k) = [sin(k/10);cos(k/10);k/10;0.1*sin(k/5);0.1*cos(k/5);0.1*(k/10)^2];
end

% 生成测量数据
for k = 1:Nsamples
    z(:,k) = h(x_true(:,k)) + sqrt(R)*randn(M,1);
end

% UKF算法
for k = 2:Nsamples
    % 预测
    [X,Wm,Wc] = ut(f,x,P,2); % 计算sigma点和权重
    x_pred = X*Wm'; % 计算预测状态
    P_pred = X*diag(Wc)*X' + Q; % 计算预测协方差矩阵

    % 更新
    [X,Wm,Wc] = ut(h,x_pred,P_pred,2); % 计算sigma点和权重
    z_pred = X*Wm'; % 计算预测观测值
    Pz = X*diag(Wc)*X' + R; % 计算观测协方差矩阵
    Pxz = X*diag(Wc)*X'; % 计算状态观测协方差矩阵
    K = Pxz/Pz; % 计算卡尔曼增益矩阵
    x(:,k) = x_pred + K*(z(:,k) - z_pred); % 计算最优估计
    P = P_pred - K*Pz*K'; % 计算卡尔曼增益矩阵
end

% 绘制结果
figure;
plot(t,x_true(1,:),'r',t,x(1,:),'b');
xlabel('Time (s)');
ylabel('Position (m)');
title('UKF Position Estimation');
legend('True','Estimate');

这里使用了ut函数来实现UKF算法中的sigma点采样，具体实现可以参考以下代码：

function [X,Wm,Wc] = ut(f,x,P,kappa)
% UT - Unscented Transformation
%
% Syntax:
%     [X,Wm,Wc] = ut(f,x,P,kappa)
%
% Inputs:
%     f - nonlinear map
%     x - mean of input distribution
%     P - covariance of input distribution
%     kappa - scaling parameter
%
% Outputs:
%     X - sigma points
%     Wm - weights for mean
%     Wc - weights for covariance
%
% Author: Hao Zhou <zhh@umich.edu>
% Date:   2021-01-18

n = length(x);
lambda = kappa^2*(n + 1) - n;
X = zeros(n,2*n+1);
Wm = zeros(1,2*n+1);
Wc = zeros(1,2*n+1);

X(:,1) = x;
Wm(1) = lambda/(n + lambda);
Wc(1) = lambda/(n + lambda) + (1 - kappa^2 + 3); % alpha = 1

for i = 1:n
    X(:,i+1) = x + ((n+lambda)*sqrtm(P))(:,i);
    X(:,i+n+1) = x - ((n+lambda)*sqrtm(P))(:,i);
    Wm(i+1) = 1/(2*(n+lambda));
    Wc(i+1) = 1/(2*(n+lambda));
end

for i = 1:2*n+1
    X(:,i) = f(X(:,i));
end

x = X*Wm';
P = X*diag(Wc)*X' - x*x';
end

### 回答2：
UKF和EKF是两种常用的非线性滤波算法，它们在状态估计和预测等领域广泛应用。下面给出了使用MATLAB实现UKF和EKF的具体函数。

1. UKF（无过程噪声）：
使用MATLAB的UKF工具箱或自行编写函数，以下是使用UKF进行状态估计的示例代码：

% 定义系统动态方程
f = @(x, u) [x(1)+u(1)*cos(x(3)); x(2)+u(1)*sin(x(3)); x(3)+u(2)];

% 定义测量方程
h = @(x) x(1:2);

% 定义测量噪声协方差矩阵
R = [1 0; 0 1];

% 初始化状态和协方差矩阵
x0 = [0; 0; 0];
P0 = eye(3);

% 定义过程噪声协方差矩阵（无过程噪声）

% 设计输入和测量数据
U = [1 0.1; 1 0.2; 1 0.3];
Z = [1 1; 2 2; 3 3];

% 使用UKF进行状态估计
[x_est, P_est] = ukf(f, h, U, Z, x0, P0, R);

上述代码中，通过定义系统动态方程f、测量方程h和噪声协方差矩阵R，使用ukf函数进行UKF状态估计。

2. EKF（扩展卡尔曼滤波）：
使用MATLAB的EKF工具箱或自行编写函数，以下是使用EKF进行状态估计的示例代码：

% 定义线性状态动态方程和测量方程的雅可比矩阵
A = [1 0; 0 1];
B = [1; 1];
C = [1 0; 0 1];

% 定义过程噪声协方差矩阵和测量噪声协方差矩阵
Q = [0.1 0; 0 0.1];
R = [1 0; 0 1];

% 初始化状态和协方差矩阵
x0 = [0; 0];
P0 = eye(2);

% 设计输入和测量数据
U = [1; 2; 3];
Z = [1 1; 2 2; 3 3];

% 使用EKF进行状态估计
[x_est, P_est] = ekf(A, B, C, Q, R, U, Z, x0, P0);

上述代码中，通过定义线性状态动态方程A、输入矩阵B、测量矩阵C和噪声协方差矩阵Q、R，使用ekf函数进行EKF状态估计。

综上所述，使用MATLAB实现UKF和EKF主要通过UKF工具箱或自行编写相应的函数，将系统方程、测量方程、噪声协方差矩阵等作为参数输入，然后通过函数调用进行状态估计。

### 回答3：
在比较6维无迹卡尔曼滤波（UKF）和扩展卡尔曼滤波（EKF）时，我们可以使用MATLAB来展示其代码实现，并给出具体函数。

首先，我们需要导入必要的MATLAB工具箱。UKF的实现需要使用Robotics System Toolbox和Navigation Toolbox，而EKF的实现只需要Robotics System Toolbox。

UKF的MATLAB代码实现如下：

% 导入UKF所需的库
import robotics.*
import navigation.*

% 定义系统动态方程
f = @(x, u) [x(1) + x(2)*cos(x(3)); 
             x(2) + u(1); 
             x(3) + x(4)*u(2); 
             x(4) + u(3);
             x(5);
             x(6)];

% 定义测量方程
h = @(x) [x(1); x(2)];

% 定义系统噪声、测量噪声的协方差矩阵
Q = diag([0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01]); 
R = diag([0.1, 0.1]);

% 初始化滤波器
initState = [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 初始状态
initCovar = diag([1, 1, 1, 1, 1, 1]); % 初始协方差矩阵
ukfFilter = unscentedKalmanFilter(f, h, initState, 'StateCovariance', initCovar, 'ProcessNoise', Q, 'MeasurementNoise', R);

% 滤波器更新
u = [1; 2; 3]; % 输入向量
z = [5; 5]; % 测量向量
[xPred, covarPred] = predict(ukfFilter, u); % 预测步骤
[xCorrected, covarCorrected] = correct(ukfFilter, z); % 纠正步骤

接下来，我们来看EKF的MATLAB代码实现：

% 导入EKF所需的库
import robotics.*

% 定义系统动态方程
f = @(x, u) [x(1) + x(2)*cos(x(3)); 
             x(2) + u(1); 
             x(3) + x(4)*u(2); 
             x(4) + u(3);
             x(5);
             x(6)];

% 定义测量方程
h = @(x) [x(1); x(2)];

% 定义系统噪声、测量噪声的协方差矩阵
Q = diag([0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01, 0.01]);
R = diag([0.1, 0.1]);

% 初始化滤波器
initState = [0; 0; 0; 0; 0; 0]; % 初始状态
initCovar = diag([1, 1, 1, 1, 1, 1]); % 初始协方差矩阵
ekfFilter = extendedKalmanFilter(f, h, initState, 'StateCovariance', initCovar, 'ProcessNoise', Q, 'MeasurementNoise', R);

% 滤波器更新
u = [1; 2; 3]; % 输入向量
z = [5; 5]; % 测量向量
[xPred, covarPred] = predict(ekfFilter, u); % 预测步骤
[xCorrected, covarCorrected] = correct(ekfFilter, z); % 纠正步骤

这些代码展示了如何使用MATLAB实现UKF和EKF，并给出了相应的函数，即`unscentedKalmanFilter`和`extendedKalmanFilter`。UKF和EKF的实现区别在于UKF使用了无迹变换来近似高斯分布，而EKF使用雅可比矩阵线性化系统和测量方程。