. 给出线性判别分析算法中的投影向量推导过程,并给出一种投影后数据的分界面表达式?
时间: 2024-05-19 14:14:27 浏览: 11
线性判别分析算法的投影向量推导过程如下:
1. 计算每个类别的均值向量:$$ \mu_c = \frac{1}{n_c} \sum_{i=1}^{n_c} \mathbf{x_i^c} $$ 其中,$n_c$ 是类别 $c$ 中样本的个数,$\mathbf{x_i^c}$ 是类别 $c$ 中的第 $i$ 个样本。
2. 计算总体均值向量:$$ \mu = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} \mathbf{x_i} $$ 其中,$n$ 是所有样本的个数,$\mathbf{x_i}$ 是第 $i$ 个样本。
3. 计算类内散度矩阵:$$ \mathbf{S_W} = \sum_{c=1}^{C} \sum_{i=1}^{n_c} (\mathbf{x_i^c} - \mu_c) (\mathbf{x_i^c} - \mu_c)^T $$ 其中,$C$ 是类别的个数。
4. 计算类间散度矩阵:$$ \mathbf{S_B} = \sum_{c=1}^{C} n_c (\mu_c - \mu) (\mu_c - \mu)^T $$
5. 计算投影向量:$$ \mathbf{w} = \mathbf{S_W}^{-1} (\mu_1 - \mu_2) $$ 其中,$\mu_1$ 和 $\mu_2$ 是两个类别的均值向量。
投影后数据的分界面表达式可以表示为:$$ \mathbf{w}^T \mathbf{x} = \frac{1}{2} (\mathbf{w}^T \mu_1 + \mathbf{w}^T \mu_2) $$ 如果 $\mathbf{w}^T \mathbf{x} \geq \frac{1}{2} (\mathbf{w}^T \mu_1 + \mathbf{w}^T \mu_2)$,则预测为类别 1;否则预测为类别 2。
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