通过引入奖励机制和非完全贪心策略，改进Dijkstra算法并写出它的算法代码，且完全数学建模

首先，我们需要定义问题的数学模型。给定一个有向带权图 $G=(V,E)$，其中 $V$ 是节点集合，$E$ 是边集合。每条边 $(u,v)\in E$ 有一个权重 $w(u,v)\geq 0$，表示从节点 $u$ 到节点 $v$ 的距离。假设起点为 $s$，终点为 $t$，我们的目标是找到从 $s$ 到 $t$ 的最短路径。我们定义一个路径 $P$ 的权重为 $w(P)=\sum_{(u,v)\in P}w(u,v)$，即路径上所有边的权重之和。

Dijkstra算法是一种贪心算法，它通过维护一个未确定最短路径的节点集合 $S$，不断地从中选出距离起点最近的节点 $u$，并更新与节点 $u$ 相邻的节点的距离。具体过程如下：

1. 初始化：对于每个节点 $v\in V$，令 $dist[v]=+\infty$，表示从 $s$ 到 $v$ 的距离未知；

2. 令 $dist[s]=0$，将 $s$ 加入集合 $S$；

3. 当 $S$ 不为空时，循环执行以下步骤：

- 从 $S$ 中选出距离起点最近的节点 $u$，将其从 $S$ 中移除；

- 对于 $u$ 的每个相邻节点 $v$，如果 $dist[v]>dist[u]+w(u,v)$，则更新 $dist[v]=dist[u]+w(u,v)$；

4. 当 $t$ 被加入集合 $S$ 后，算法结束，$dist[t]$ 即为从 $s$ 到 $t$ 的最短路径。

然而，Dijkstra算法存在一个问题，即它只能处理边权非负的图。为了解决这个问题，我们可以引入奖励机制和非完全贪心策略。

具体来说，我们为每个节点 $v$ 设置一个奖励 $r[v]$，表示从 $s$ 到 $v$ 的最短路径的长度。在选取距离起点最近的节点时，我们不仅考虑节点 $u$ 到起点的距离 $dist[u]$，还考虑从起点到节点 $u$ 的最短路径的长度 $r[u]$。具体步骤如下：

1. 初始化：对于每个节点 $v\in V$，令 $dist[v]=+\infty$，$r[v]=+\infty$，表示从 $s$ 到 $v$ 的距离和最短路径长度未知；

2. 令 $dist[s]=0$，$r[s]=0$，将 $s$ 加入集合 $S$；

3. 当 $S$ 不为空时，循环执行以下步骤：

- 从 $S$ 中选出距离起点最近的节点 $u$，将其从 $S$ 中移除；

- 对于 $u$ 的每个相邻节点 $v$，如果 $dist[v]>dist[u]+w(u,v)$，则更新 $dist[v]=dist[u]+w(u,v)$，$r[v]=r[u]+w(u,v)$；

- 对于 $S$ 中的每个节点 $v$，如果 $dist[v]+r[v]>dist[t]+r[t]$，则将 $v$ 从 $S$ 中移除，并将 $r[v]$ 更新为 $r[v]-(dist[v]+r[v]-(dist[t]+r[t]))$。

4. 当 $t$ 被加入集合 $S$ 后，算法结束，$dist[t]$ 即为从 $s$ 到 $t$ 的最短路径。

这里需要注意的是，在第三步中，我们需要将 $S$ 中的节点按照 $dist[v]+r[v]$ 的值从小到大排序，以保证在选择节点时是最优的。

下面是改进后的Dijkstra算法的完整代码：

import heapq

def dijkstra(G, s, t):
    n = len(G)
    dist = [float('inf')] * n
    reward = [float('inf')] * n
    dist[s] = 0
    reward[s] = 0
    heap = [(dist[s]+reward[s], s)]
    visited = set()
    while heap:
        _, u = heapq.heappop(heap)
        if u in visited:
            continue
        visited.add(u)
        for v, w in G[u]:
            if dist[v] > dist[u] + w:
                dist[v] = dist[u] + w
                reward[v] = reward[u] + w
                heapq.heappush(heap, (dist[v]+reward[v], v))
        for v, _ in heap:
            if dist[v] + reward[v] > dist[t] + reward[t]:
                heap.remove((dist[v]+reward[v], v))
                heapq.heapify(heap)
                reward[v] -= dist[v] + reward[v] - (dist[t] + reward[t])
    return dist[t]

其中，$G$ 是邻接表表示的图，每个元素是一个包含相邻节点和边权的二元组。函数返回从 $s$ 到 $t$ 的最短路径长度。