f'(a)<0,则存在ξ>0,使得 f(x)在 (-ξ,ξ)内单调吗

是的，如果某个函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导且 $f'(a)<0$，则根据导数的定义可知，存在一个正数 $\xi$，使得当 $x\in (a-\xi,a+\xi)$ 时，$f'(x)$ 的值仍然小于零。由于导数为负，因此 $f(x)$ 在 $(a-\xi,a+\xi)$ 内是单调递减函数。因此，可以得出结论：存在 $\xi>0$，使得 $f(x)$ 在 $(-\xi,\xi)$ 内单调递减。

相关问题

求文法 E->TG G->+TG G->ξ T->FS S->*FS S->ξ F->(E) F->i 的预测分析表

首先我们需要求出该文法的 FIRST 集和 FOLLOW 集：

- FIRST(E) = { (, i }
- FIRST(G) = { +, ε }
- FIRST(T) = { (, i }
- FIRST(S) = { *, ε }
- FIRST(F) = { (, i }
- FOLLOW(E) = { $, ) }
- FOLLOW(G) = { $, ) }
- FOLLOW(T) = { +, $, ) }
- FOLLOW(S) = { +, $, ) }
- FOLLOW(F) = { *, +, $, ) }

其中，ε 表示空串。

根据 FIRST 和 FOLLOW 集，我们可以得到该文法的预测分析表如下：

| | ( | ) | + | * | i | $ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| E | E -> TG | | | | E -> TG | |
| G | | G -> ε | G -> +TG | | G -> ε | G -> ε |
| T | T -> FS | | | | T -> FS | |
| S | | S -> ε | S -> ε | S -> *FS | S -> ε | S -> ε |
| F | F -> (E) | | | | F -> i | |

表中，行对应非终结符，列对应终结符，表格中的内容表示使用该产生式进行推导的结果。例如，当栈顶为 E，当前输入符号为 i 时，使用 E -> TG 进行推导。

设f(x)是[0,1]上二阶可导的正值函数，f(0)=2，f(1)=1且f(0)'＝-2，证明存在ξ∈(0,1),使得f(ξ)f(ξ)'+f(ξ)''=0

我们可以使用柯西中值定理来证明这个结论。

首先，根据题目条件，我们知道 f(x) 在闭区间 [0, 1] 上是连续的，且在开区间 (0, 1) 上是二阶可导的。同时，我们知道 f(0) = 2，f(1) = 1，以及 f'(0) = -2。

我们定义一个辅助函数 g(x) = [f(x)]²。根据题目条件，g(x) 也是正值函数，并且在闭区间 [0, 1] 上连续可导。

现在，我们来考虑函数 h(x) = f(x)g(x)。根据乘积法则，h(x) 在开区间 (0, 1) 上是二阶可导的。

我们将 h(x) 进行求导：
h'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
h''(x) = f''(x)g(x) + 2f'(x)g'(x) + f(x)g''(x)

我们需要找到一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 f(ξ)f(ξ)' + f(ξ)'' = 0。换句话说，我们需要找到一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 h(ξ) = 0。

根据柯西中值定理，如果一个函数在一个闭区间的两个端点处取相同的函数值，并且在该闭区间内连续可导，则在该闭区间内至少存在一个点，使得导数为零。

我们考虑函数 h(x) 在闭区间 [0, 1] 上的两个端点的取值：
h(0) = f(0)g(0) = 2g(0)
h(1) = f(1)g(1) = g(1)

我们知道 g(x) = [f(x)]²，且 f(x) 是正值函数，因此 g(x) 在闭区间 [0, 1] 上是连续的。

根据柯西中值定理，存在一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 h'(ξ) = 0。即，
h'(ξ) = f'(ξ)g(ξ) + f(ξ)g'(ξ) = f'(ξ)[f(ξ)]² + f(ξ)f'(ξ) = 2f(ξ)f'(ξ) + [f(ξ)]²f''(ξ)

因此，我们得到 2f(ξ)f'(ξ) + [f(ξ)]²f''(ξ) = 0。即，存在一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 f(ξ)f(ξ)' + f(ξ)'' = 0。

综上所述，我们证明了存在一个点 ξ ∈ (0, 1)，使得 f(ξ)f(ξ)' + f(ξ)'' = 0。