MNIST数据集数据库由60000个训练样本和10000个测试样本组成，每个样本都是一张28 * 28像素的灰度手写数字图片，总共有0~9共10个手写数字，给定上述数据集，要求使用python语言，应用Kmeans++算法，编写程序实现聚类并测试。

好的，下面我将分步骤介绍如何使用Python语言，应用Kmeans++算法，对MNIST数据集进行聚类并测试。

1. 导入必要的库和数据集

首先需要导入必要的库和MNIST数据集，可以通过以下代码实现：

import numpy as np
from sklearn.datasets import fetch_openml

mnist = fetch_openml('mnist_784', version=1, cache=True)
X = mnist.data
y = mnist.target

2. 数据预处理

由于Kmeans算法是基于距离度量的，因此需要对数据进行标准化处理，即将每一维特征都缩放到均值为0，方差为1的范围内。可以通过以下代码实现：

from sklearn.preprocessing import StandardScaler

scaler = StandardScaler()
X_scaled = scaler.fit_transform(X)

3. Kmeans++算法实现

Kmeans++算法是一种改进版的Kmeans算法，它通过选择更好的初始聚类中心，来提高Kmeans算法的性能。可以通过以下代码实现Kmeans++算法：

from sklearn.cluster import KMeans

def kmeans_pp(X, k):
    # 选择第一个聚类中心
    centroids = [X[np.random.choice(len(X))]]
    for i in range(1, k):
        # 计算每个样本点到最近的聚类中心的距离
        dists = np.array([min([np.linalg.norm(x - c) for c in centroids]) for x in X])
        # 根据距离的平方选择下一个聚类中心
        probs = dists ** 2 / sum(dists ** 2)
        centroids.append(X[np.random.choice(len(X), p=probs)])
    return np.array(centroids)

def kmeans(X, k):
    centroids = kmeans_pp(X, k)
    while True:
        # 计算每个样本点到最近的聚类中心的距离
        dists = np.array([np.linalg.norm(X - c, axis=1) for c in centroids])
        # 分配每个样本点到最近的聚类中心
        labels = np.argmin(dists, axis=0)
        # 更新聚类中心
        new_centroids = np.array([X[labels == i].mean(axis=0) for i in range(k)])
        # 如果聚类中心不再变化，则结束迭代
        if np.all(centroids == new_centroids):
            break
        centroids = new_centroids
    return labels

4. 聚类并测试

现在可以将Kmeans算法应用到MNIST数据集上，并进行测试。可以通过以下代码实现：

k = 10
labels = kmeans(X_scaled, k)

# 计算聚类准确率
from scipy.stats import mode
preds = np.zeros_like(labels)
for i in range(k):
    mask = (labels == i)
    preds[mask] = mode(y[mask])[0]
accuracy = np.mean(preds == y)
print('聚类准确率：', accuracy)

运行以上代码后，会得到聚类准确率的结果。需要注意的是，这里的聚类准确率是通过将每个聚类中心分配到最接近的真实标签上来计算的，因此可能会有一些标签被错误地分配到了错误的聚类中心。