bp神经网络原理及matlab代码复现

BP神经网络（Back Propagation Neural Network）是一种常用的前馈神经网络，主要用于分类和回归问题。其核心思想是通过反向传播算法来调整网络的权重和偏置，以最小化预测误差。以下是BP神经网络的基本原理及MATLAB代码复现。

### BP神经网络原理

1. **网络结构**：
- 输入层：接收输入数据。
- 隐藏层：一个或多个隐藏层，用于处理输入数据。
- 输出层：输出最终结果。

2. **前向传播**：
- 输入数据通过输入层传递给隐藏层，隐藏层通过激活函数（如Sigmoid、ReLU等）进行处理，然后将结果传递给输出层。
- 输出层再通过激活函数处理，得到最终的输出结果。

3. **反向传播**：
- 计算输出层与实际结果之间的误差。
- 通过链式法则，将误差反向传播到隐藏层和输入层，更新每一层的权重和偏置。

4. **权重更新**：
- 使用梯度下降法或其他优化算法，根据误差调整权重和偏置。

### MATLAB代码复现

以下是一个简单的BP神经网络的MATLAB代码示例，用于解决二分类问题：

% 生成示例数据
X = [0 0; 0 1; 1 0; 1 1]';
Y = [0; 1; 1; 0]';

% 初始化参数
input_layer_size = 2;
hidden_layer_size = 2;
output_layer_size = 1;
learning_rate = 0.1;
epochs = 10000;

% 初始化权重和偏置
W1 = rand(hidden_layer_size, input_layer_size);
b1 = rand(hidden_layer_size, 1);
W2 = rand(output_layer_size, hidden_layer_size);
b2 = rand(output_layer_size, 1);

% Sigmoid激活函数
sigmoid = @(x) 1 ./ (1 + exp(-x));

% 反向传播算法
for i = 1:epochs
    % 前向传播
    Z1 = W1 * X + b1;
    A1 = sigmoid(Z1);
    Z2 = W2 * A1 + b2;
    A2 = sigmoid(Z2);
    
    % 计算误差
    loss = Y - A2;
    
    % 反向传播
    dZ2 = loss .* sigmoid(Z2) .* (1 - sigmoid(Z2));
    dW2 = dZ2 * A1';
    db2 = sum(dZ2, 2);
    
    dA1 = W2' * dZ2;
    dZ1 = dA1 .* sigmoid(Z1) .* (1 - sigmoid(Z1));
    dW1 = dZ1 * X';
    db1 = sum(dZ1, 2);
    
    % 更新权重和偏置
    W2 = W2 + learning_rate * dW2;
    b2 = b2 + learning_rate * db2;
    W1 = W1 + learning_rate * dW1;
    b1 = b1 + learning_rate * db1;
    
    % 每1000次迭代输出一次损失
    if mod(i, 1000) == 0
        fprintf('Epoch %d, Loss: %f\n', i, mean(loss.^2));
    end
end

% 测试
Z1 = W1 * X + b1;
A1 = sigmoid(Z1);
Z2 = W2 * A1 + b2;
A2 = sigmoid(Z2);
disp(A2);

###