增广拉格朗日函数法案例

增广拉格朗日函数法是一种求解约束优化问题的方法，它通过构造增广拉格朗日函数，将原问题转化为无约束优化问题，进而通过牛顿法等优化算法求解。

以下是一个简单的案例：假设有一个优化问题，目标函数为 $f(x,y)=x^2+y^2$，约束条件为 $g(x,y)=x+y-1=0$。则可以构造增广拉格朗日函数：

$$L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda g(x,y)=(x^2+y^2)+\lambda(x+y-1)$$

其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘子。接下来，我们要求解增广拉格朗日函数的驻点，即满足 $\frac{\partial L}{\partial x}=0,\frac{\partial L}{\partial y}=0,\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0$ 的点。有：

$$\frac{\partial L}{\partial x}=2x+\lambda=0$$

$$\frac{\partial L}{\partial y}=2y+\lambda=0$$

$$\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-1=0$$

解得 $x=y=\frac{1}{2},\lambda=-1$。将这个结果带回原问题的目标函数，得到最优解 $f(\frac{1}{2},\frac{1}{2})=\frac{1}{2}$。因此，原问题的最优解为 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。