matlab中牛顿下山法实例,非线性方程的数值解法牛顿下山法matlab

下面给出一个使用牛顿下山法求解非线性方程数值解的 Matlab 代码示例：

function [x, fval, exitflag] = newton_downhill(f, x0, tol, maxiter)

% f: 目标函数
% x0: 初始点
% tol: 容差
% maxiter: 最大迭代次数

% 初始化
x = x0;
iter = 0;
exitflag = 1;

while iter < maxiter
    % 计算函数值和一阶、二阶导数
    [fval, gval, Hval] = feval(f, x);
    % 判断是否满足停机准则
    if norm(gval) < tol
        return;
    end
    % 计算搜索方向
    d = -Hval \ gval;
    % 计算步长
    alpha = backtracking(f, x, d);
    % 更新解
    x = x + alpha * d;
    % 更新迭代次数
    iter = iter + 1;
end

if iter == maxiter
    exitflag = -1;
end

end

function alpha = backtracking(f, x, d)

% f: 目标函数
% x: 当前点
% d: 搜索方向

alpha = 1;
rho = 0.5;
c = 1e-4;
[fval, gval, ~] = feval(f, x);

while feval(f, x + alpha * d) > fval + c * alpha * gval' * d
    alpha = rho * alpha;
end

end

其中，目标函数需要按照以下格式定义：

function [fval, gval, Hval] = myfun(x)

% x: 当前点

% 计算函数值
fval = ...
% 计算一阶导数
gval = ...
% 计算二阶导数
Hval = ...

end

需要注意的是，牛顿下山法在实现时需要考虑 Hessian 矩阵的计算和求解，可以采用 Matlab 内置的 `inv` 或 `pinv` 函数来求解 Hessian 矩阵的逆矩阵，但这样可能会带来数值上的不稳定性。因此，建议使用牛顿下山法的改进算法，如拟牛顿法。