有初始状态为0的如下二阶微分方程，试建立系统模型𝑥^″+0.2𝑥^′+0.4𝑥=0.2sin𝑡

设状态变量为$x_1(t)=x(t)$和$x_2(t)=\dot{x}(t)$，则系统方程可以表示为：

$$
\begin{cases}
\dot{x}_1(t)=x_2(t) \\
\dot{x}_2(t)=-0.2x_2(t)-0.4x_1(t)+0.2\sin(t)
\end{cases}
$$

初始状态为$x_1(0)=0$和$x_2(0)=0$。将系统方程写成矩阵形式：

$$
\begin{bmatrix}
\dot{x}_1(t) \\ \dot{x}_2(t)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ -0.4 & -0.2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1(t) \\ x_2(t)
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
0 \\ 0.2\sin(t)
\end{bmatrix}
$$

则系统的状态空间模型为：

$$
\begin{cases}
\dot{x}(t)=Ax(t)+Bu(t) \\
y(t)=Cx(t)+Du(t)
\end{cases}
$$

其中，

$$
A=\begin{bmatrix}
0 & 1 \\ -0.4 & -0.2
\end{bmatrix},\quad
B=\begin{bmatrix}
0 \\ 0.2
\end{bmatrix},\quad
C=\begin{bmatrix}
1 & 0
\end{bmatrix},\quad
D=0
$$

系统的状态向量为$x(t)=[x_1(t),x_2(t)]^T$，输入向量为$u(t)=\sin(t)$，输出为$y(t)=x_1(t)$。