学校设立了N个值日大队长和M个值日小队长，大队长一周一换，小队长每天一换。甲是第P个大队长，乙是第Q个小队长。学期的第一天是周一，学期一共有1000天。每周六周日不上学。请问本学期的第几天甲和乙第一次同一天值日。

根据题目描述，我们可以得到以下信息：
- 大队长一周一换，即每周有N个大队长在值日。
- 小队长每天一换，即每天有M个小队长在值日。
- 学期的第一天是周一，一共有1000天。
- 每周六周日不上学，即每周有5天上学。

我们可以利用数学的方法来解决这个问题。首先，我们需要找到一个最小的公共倍数，使得大队长和小队长的换班周期能够同时满足。

大队长的换班周期为N周，小队长的换班周期为M天。我们可以计算出两者的最小公共倍数，记为L：
L = lcm(N, M)

接下来，我们需要确定甲和乙分别在第几天开始值日。甲是第P个大队长，因此甲的值日开始于第(P-1) * N + 1天。乙是第Q个小队长，因此乙的值日开始于第(Q-1)天。

接下来，我们需要找到甲和乙第一次同时值日的日子。我们可以计算出甲和乙第一次同时值日的天数，记为D：
D = LCM(N, M) - ((P-1) * N + 1) + (Q-1)

最后，我们需要判断D是否小于等于1000，如果是，则第一次同时值日的天数为D，否则甲和乙在本学期内没有同时值日。

带入题目中的数值，即可得到答案。