输入一个大于1的整数n，将n分为若干个正整数之和可能有很多种结果，取使这些数相乘最大的结果

### 回答1：
这个问题可以使用动态规划来解决。

设 $f_i$ 表示将 $i$ 分解为若干正整数之和，使得这些正整数的乘积最大，所得到的最大乘积。

显然，当 $i=2$ 时，只能将 $2$ 分解为 $1+1$，乘积为 $1$。

当 $i \geq 3$ 时，可以将 $i$ 分解成两个正整数 $j$ 和 $i-j$ 的和，或者将 $i$ 分解成三个及以上正整数之和。

对于第一种情况，分解出来的两个正整数的乘积为 $j \times (i-j)$，因此 $f_i$ 可以通过更新 $f_j \times f_{i-j}$ 来计算。

对于第二种情况，假设将 $i$ 分解成 $a_1 + a_2 + \cdots + a_k$，其中 $k \geq 3$，则 $f_i$ 可以通过更新 $f_{a_1} \times f_{a_2} \times \cdots \times f_{a_k}$ 来计算。

综上所述，我们可以得到以下状态转移方程：

$$
f_i = \max\{j \times (i-j), f_{a_1} \times f_{a_2} \times \cdots \times f_{a_k}\}
$$

其中 $j$ 取遍 $1,2,\cdots,i-1$，$a_1,a_2,\cdots,a_k$ 的取值满足 $a_1+a_2+\cdots+a_k=i$。

下面是 Python 代码实现：

def max_product(n: int) -> int:
    if n <= 2:
        return 1
    f = [0] * (n + 1)
    f[1] = 1
    f[2] = 1
    for i in range(3, n+1):
        for j in range(1, i):
            f[i] = max(f[i], j * (i-j), f[j] * f[i-j])
    return f[n]

例如，对于输入 $n=10$，输出为 $36$，即 $10=3+3+4$ 时，这些数的乘积最大，为 $3 \times 3 \times 4=36$。

### 回答2：
要取使这些数相乘最大的结果，可以通过贪心算法来实现。首先，我们观察到，当n为2或3时，无论怎样分割，其乘积都小于等于n本身。因此，对于n大于3的情况，我们可以将其分为尽可能多的3和尽量少的2。

假设n可以表示为3的个数x和2的个数y的和，即n = 3x + 2y。那么我们可以得到以下几个结论：

1. 当y为0时，即n为3的倍数时，最大乘积为3的x次方。
2. 当y为1时，我们可以将一个2和一个3组合为1个6，此时最大乘积为2 * 3^(x-1)。
3. 当y为2时，最大乘积为2^2 * 3^x。
4. 当y为3时，我们可以将三个2组合为一个8和一个1，此时最大乘积为2^3 * 3^(x-1)。

通过观察以上情况，我们可以发现，当y大于等于4时，我们可以将4个2组合为一个8和一个1，此时的乘积一定大于y为3时的情况。因此，我们可以得出一个规律，即当n大于3时，最大乘积结果为2的y次方 * 3的x次方。

综上所述，对于一个大于1的整数n，我们可以先将其分解成尽可能多的3和尽量少的2，再将分解后的3的个数x和2的个数y代入公式 2^y * 3^x ，即为所求的最大乘积结果。

### 回答3：
给定一个大于1的整数n，我们需要将n分解成若干个正整数之和，并找到这些数相乘的最大结果。

假设我们将n分解成k个正整数之和，可以设这k个正整数为x1, x2, ..., xk。那么我们的目标是找到这些数的乘积最大值。

首先，我们可以发现当这k个数尽量均匀分布时，它们的乘积最大。也就是说，我们需要将n平均分成k个数，即x1 = x2 = ... = xk = n/k。

但是由于n和k可能无法整除，所以我们需要取整数部分，即令x1 = x2 = ... = x_{k-1} = n/k，而最后一个数xk = n - (k-1)(n/k)。

接下来，我们考虑如何选择k的值，使得乘积最大。我们可以发现，当k接近于n的平方根时，乘积最大。

为什么呢？假设k=n的平方根+1，即k = sqrt(n)+1。那么n/k = sqrt(n)，而(n - (k-1)(n/k)) = 2*sqrt(n)。这样，我们得到的k个数之积为sqrt(n)^(k-1) * 2*sqrt(n) = 2n^(k/2)。

可以看到，如果k稍微大于sqrt(n)，我们得到的乘积会更大。

因此，我们可以选择k = int(sqrt(n)) + 1，即将n分成int(sqrt(n))+1个数之和，其中int(x)表示取x的整数部分。

综上所述，我们可以将输入的大于1的整数n分解成int(sqrt(n))+1个正整数之和，使得这些数的乘积最大。