基于C语言写卡尔曼滤波算法

卡尔曼滤波算法是一种递归的、线性的状态估计算法，它可以通过观测数据对系统的状态进行估计。下面我将基于C语言介绍卡尔曼滤波算法的实现。

首先，我们需要定义状态向量和观测向量，以及它们之间的转移矩阵和观测矩阵。对于一个简单的系统，我们可以定义状态向量为 $x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T$，观测向量为 $z=[z_1,z_2,\cdots,z_m]^T$。转移矩阵 $F$ 定义了状态向量在每个时间步的演化方式，观测矩阵 $H$ 则定义了状态向量与观测向量之间的关系。

接下来，我们可以定义卡尔曼滤波算法的主要步骤：

1. 初始化

在时间步 $k=0$ 时，我们需要对状态向量和协方差矩阵进行初始化。假设我们已知系统的初始状态 $x_0$，则可以将状态向量初始化为 $x_{0|0}=x_0$。协方差矩阵 $P_{0|0}$ 则表示对状态向量的不确定度，可以根据实际问题进行初始化。

2. 预测

在时间步 $k$，我们需要对系统状态进行预测。预测的结果为 $x_{k|k-1}$，表示在不考虑观测数据的情况下，系统在时间步 $k$ 的状态。预测的过程可以通过转移矩阵 $F$ 实现：

$$
x_{k|k-1}=F_kx_{k-1|k-1}
$$

协方差矩阵 $P_{k|k-1}$ 则表示对预测结果的不确定度，可以通过以下公式计算：

$$
P_{k|k-1}=F_kP_{k-1|k-1}F_k^T+Q_k
$$

其中 $Q_k$ 表示过程噪声，可以根据实际问题进行设置。

3. 更新

在时间步 $k$，我们需要将预测结果与观测数据进行比较，然后进行状态更新。假设在时间步 $k$，我们观测到了 $z_k$，则观测残差为：

$$
y_k=z_k-H_kx_{k|k-1}
$$

协方差矩阵 $R_k$ 表示观测噪声，可以根据实际问题进行设置。根据观测残差，我们可以计算卡尔曼增益 $K_k$：

$$
K_k=P_{k|k-1}H_k^T(H_kP_{k|k-1}H_k^T+R_k)^{-1}
$$

然后，我们可以通过以下公式对状态向量进行更新：

$$
x_{k|k}=x_{k|k-1}+K_ky_k
$$

同时，协方差矩阵也需要进行更新：

$$
P_{k|k}=(I-K_kH_k)P_{k|k-1}
$$

4. 重复

重复执行步骤 2 和 3，直到所有的观测数据都被处理完毕。

下面是一个简单的卡尔曼滤波的C语言实现示例：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

#define N 2  // 状态向量维度
#define M 1  // 观测向量维度

// 状态向量
typedef struct {
    double x[N];
} state_t;

// 观测向量
typedef struct {
    double z[M];
} obs_t;

// 系统参数
typedef struct {
    double F[N][N];  // 转移矩阵
    double H[M][N];  // 观测矩阵
    double Q[N][N];  // 过程噪声
    double R[M][M];  // 观测噪声
} sys_param_t;

// 卡尔曼滤波器
typedef struct {
    state_t state;  // 状态向量
    double P[N][N];  // 协方差矩阵
} kalman_filter_t;

// 初始化卡尔曼滤波器
void kalman_filter_init(kalman_filter_t *kf, const state_t *x0, const sys_param_t *sys_param)
{
    // 初始化状态向量
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        kf->state.x[i] = x0->x[i];
    }

    // 初始化协方差矩阵
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            kf->P[i][j] = 0.0;
        }
        kf->P[i][i] = 1.0;
    }

    // 初始化系统参数
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            kf->P[i][j] = sys_param->Q[i][j];
        }
    }
}

// 卡尔曼滤波
void kalman_filter_update(kalman_filter_t *kf, const obs_t *z, const sys_param_t *sys_param)
{
    double y[M];  // 观测残差
    double S[M][M];  // 观测协方差矩阵
    double K[N][M];  // 卡尔曼增益

    // 预测
    state_t x_pred;
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        x_pred.x[i] = 0.0;
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            x_pred.x[i] += sys_param->F[i][j] * kf->state.x[j];
        }
    }

    double P_pred[N][N];
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            P_pred[i][j] = 0.0;
            for (int k = 0; k < N; k++) {
                P_pred[i][j] += sys_param->F[i][k] * kf->P[k][j];
            }
            P_pred[i][j] += sys_param->Q[i][j];
        }
    }

    // 更新
    for (int i = 0; i < M; i++) {
        y[i] = z->z[i];
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            y[i] -= sys_param->H[i][j] * x_pred.x[j];
        }
    }

    for (int i = 0; i < M; i++) {
        for (int j = 0; j < M; j++) {
            S[i][j] = 0.0;
            for (int k = 0; k < N; k++) {
                S[i][j] += sys_param->H[i][k] * P_pred[k][j];
            }
            S[i][j] += sys_param->R[i][j];
        }
    }

    double SI[M][M];
    double detS = S[0][0] * S[1][1] - S[0][1] * S[1][0];
    SI[0][0] = S[1][1] / detS;
    SI[0][1] = -S[0][1] / detS;
    SI[1][0] = -S[1][0] / detS;
    SI[1][1] = S[0][0] / detS;

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < M; j++) {
            K[i][j] = 0.0;
            for (int k = 0; k < M; k++) {
                K[i][j] += P_pred[i][k] * sys_param->H[k][j];
            }
            K[i][j] *= SI[j][j];
        }
    }

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        kf->state.x[i] = x_pred.x[i];
        for (int j = 0; j < M; j++) {
            kf->state.x[i] += K[i][j] * y[j];
        }
    }

    double I[N][N];
    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            I[i][j] = (i == j) ? 1.0 : 0.0;
        }
    }

    for (int i = 0; i < N; i++) {
        for (int j = 0; j < N; j++) {
            kf->P[i][j] = 0.0;
            for (int k = 0; k < M; k++) {
                kf->P[i][j] += K[i][k] * sys_param->H[k][j];
            }
            kf->P[i][j] = I[i][j] - kf->P[i][j];
            kf->P[i][j] *= P_pred[i][j];
        }
    }
}

int main()
{
    // 初始化系统参数
    sys_param_t sys_param = {
        .F = {{1.0, 0.1},
              {0.0, 1.0}},
        .H = {{1.0, 0.0}},
        .Q = {{0.01, 0.0},
              {0.0, 0.01}},
        .R = {{0.1}}
    };

    // 初始化状态向量和观测向量
    state_t x0 = {.x = {0.0, 0.0}};
    obs_t z = {.z = {0.5}};

    // 初始化卡尔曼滤波器
    kalman_filter_t kf;
    kalman_filter_init(&kf, &x0, &sys_param);

    // 进行卡尔曼滤波
    for (int i = 0; i < 100; i++) {
        kalman_filter_update(&kf, &z, &sys_param);
        printf("%lf %lf\n", kf.state.x[0], kf.state.x[1]);
    }

    return 0;
}

在上面的代码中，我们定义了一个 `state_t` 结构体表示状态向量，一个 `obs_t` 结构体表示观测向量，一个 `sys_param_t` 结构体表示系统参数，以及一个 `kalman_filter_t` 结构体表示卡尔曼滤波器。在 `kalman_filter_init` 函数中，我们对卡尔曼滤波器进行初始化；在 `kalman_filter_update` 函数中，我们进行卡尔曼滤波的预测和更新过程。最后，我们在 `main` 函数中调用这两个函数，进行卡尔曼滤波的处理。