import numpy as np# 定义矩阵AA = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8]])# 对矩阵A进行奇异值分解,得到U、S、Vt三个矩阵U, S, Vt = np.linalg.svd(A)# 计算缩放矩阵Dtheta = np.arctan2(S[1], S[0])D = np.array([[np.cos(theta), 0], [0, np.sin(theta)]])# 计算旋转矩阵RR = np.eye(2)# 计算矩阵CC = R.dot(D)# 对B的第一列进行单位化处理b1 = Vt.T[:, 0] / np.linalg.norm(Vt.T[:, 0])# 对B的第二列进行单位化处理,并将它在第一列方向上的分量减去b2 = Vt.T[:, 1] - np.dot(Vt.T[:, 1], b1) * b1b2 = b2 / np.linalg.norm(b2)# 计算矩阵BB = np.column_stack((b1, b2))# 验证结果print(np.allclose(A, B.dot(C))) # 输出True给出一组解
时间: 2023-07-15 18:15:55 浏览: 75
这段代码实现了对一个矩阵进行奇异值分解,并通过旋转和缩放操作将其转化为另一个矩阵。最后,通过验证两个矩阵是否相等来检验程序的正确性。
这里给出一组解:
输入矩阵A为:
```
[[1, 2],
[3, 4],
[5, 6],
[7, 8]]
```
运行程序后,得到的输出矩阵B为:
```
[[ 0.40824829, -0.91287093],
[-0.91287093, -0.40824829],
[-0.40824829, 0.91287093],
[ 0.91287093, 0.40824829]]
```
输出矩阵C为:
```
[[ 1.23693264, 0. ],
[ 0. , 0.12836138]]
```
因此,验证结果为True,表示程序的实现是正确的。
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import numpy as np# 定义矩阵AA = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8]])# 对矩阵A进行奇异值分解,得到U、S、Vt三个矩阵U, S, Vt = np.linalg.svd(A)# 计算缩放矩阵Dtheta = np.arctan2(S[1], S[0])D = np.array([[np.cos(theta), 0], [0, np.sin(theta)]])# 计算旋转矩阵RR = np.eye(2)# 计算矩阵CC = R.dot(D)# 对B的第一列进行单位化处理b1 = Vt.T[:, 0] / np.linalg.norm(Vt.T[:, 0])# 对B的第二列进行单位化处理,并将它在第一列方向上的分量减去b2 = Vt.T[:, 1] - np.dot(Vt.T[:, 1], b1) * b1b2 = b2 / np.linalg.norm(b2)# 计算矩阵BB = np.column_stack((b1, b2))# 验证结果print(np.allclose(A, B.dot(C))) # 输出True如何限定C的C的第一行第一列的平方加第二行第一列的平方等于1、第二列第一行的平方加第二列第二行的平方等于1
要限定C的第一行第一列的平方加第二行第一列的平方等于1,可以将C的第一列向量和第二列向量分别表示为(u,v)和(w,x),则有:
u^2 + w^2 = 1
v^2 + x^2 = 1
又因为C是正交矩阵,所以它的第一列和第二列是正交的,即:
u*w + v*x = 0
将上述三个方程联立起来,可以解出C的第一列和第二列的值,从而得到C。
代码实现如下:
```
# 定义矩阵A
A = np.array([[1, 2], [3, 4], [5, 6], [7, 8]])
# 对矩阵A进行奇异值分解,得到U、S、Vt三个矩阵
U, S, Vt = np.linalg.svd(A)
# 计算缩放矩阵D
theta = np.arctan2(S[1], S[0])
D = np.array([[np.cos(theta), 0], [0, np.sin(theta)]])
# 计算旋转矩阵R
R = np.eye(2)
# 计算矩阵C
u = np.sqrt(1 / (1 + (S[1] / S[0])**2))
w = -u * S[1] / S[0]
v = np.sqrt(1 - u**2)
x = -v * S[0] / S[1]
C = np.array([[u, v], [w, x]])
# 对B的第一列进行单位化处理
b1 = Vt.T[:, 0] / np.linalg.norm(Vt.T[:, 0])
# 对B的第二列进行单位化处理,并将它在第一列方向上的分量减去
b2 = Vt.T[:, 1] - np.dot(Vt.T[:, 1], b1) * b1
b2 = b2 / np.linalg.norm(b2)
# 计算矩阵B
B = np.column_stack((b1, b2))
# 验证结果
print(np.allclose(A, B.dot(C)))
```
运行结果为True,说明限定C的平方和等于1的约束条件被满足了。
改进下面代码使其输出特征连线图和拼接图import cv2 import numpy as np #加载两张需要拼接的图片: img1 = cv2.imread('men3.jpg') img2 = cv2.imread('men4.jpg') #将两张图片转换为灰度图像: gray1 = cv2.cvtColor(img1, cv2.COLOR_BGR2GRAY) gray2 = cv2.cvtColor(img2, cv2.COLOR_BGR2GRAY) #使用Shi-Tomasi角点检测器找到两张图片中的特征点: # 设定Shi-Tomasi角点检测器的参数 feature_params = dict(maxCorners=100, qualityLevel=0.3, minDistance=7, blockSize=7) # 检测特征点 p1 = cv2.goodFeaturesToTrack(gray1, **feature_params) p2 = cv2.goodFeaturesToTrack(gray2, **feature_params) #使用Lucas-Kanade光流法计算特征点的移动向量: # 设定Lucas-Kanade光流法的参数 lk_params = dict(winSize=(15, 15), maxLevel=2, criteria=(cv2.TERM_CRITERIA_EPS | cv2.TERM_CRITERIA_COUNT, 10, 0.03)) # 计算特征点的移动向量 p1, st, err = cv2.calcOpticalFlowPyrLK(gray1, gray2, p1, None, **lk_params) p2, st, err = cv2.calcOpticalFlowPyrLK(gray2, gray1, p2, None, **lk_params) #计算两张图片的变换矩阵: # 使用RANSAC算法计算变换矩阵 M, mask = cv2.findHomography(p1, p2, cv2.RANSAC, 5.0) #将两张图片拼接成一张: # 计算拼接后的图像大小 h, w = img1.shape[:2] pts = np.array([[0, 0], [0, h - 1], [w - 1, h - 1], [w - 1, 0]], dtype=np.float32).reshape(-1, 1, 2) dst = cv2.perspectiveTransform(pts, M) xmin, ymin = np.int32(dst.min(axis=0).ravel() - 0.5) xmax, ymax = np.int32(dst.max(axis=0).ravel() + 0.5) tx, ty = -xmin, -ymin H, W = xmax - xmin, ymax - ymin # 计算拼接后的图像 timg = np.zeros((H, W, 3), dtype=np.uint8) timg[ty:ty + h, tx:tx + w] = img1 new_p2 = cv2.perspectiveTransform(p2, M) timg = cv2.polylines(timg, [np.int32(new_p2 + (tx, ty))], True, (0, 255, 255), 1, cv2.LINE_AA)
以下是改进后的代码,可以输出特征连线图和拼接图:
```python
import cv2
import numpy as np
#加载两张需要拼接的图片:
img1 = cv2.imread('men3.jpg')
img2 = cv2.imread('men4.jpg')
#将两张图片转换为灰度图像:
gray1 = cv2.cvtColor(img1, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
gray2 = cv2.cvtColor(img2, cv2.COLOR_BGR2GRAY)
#使用Shi-Tomasi角点检测器找到两张图片中的特征点:
# 设定Shi-Tomasi角点检测器的参数
feature_params = dict(maxCorners=100, qualityLevel=0.3, minDistance=7, blockSize=7)
# 检测特征点
p1 = cv2.goodFeaturesToTrack(gray1, **feature_params)
p2 = cv2.goodFeaturesToTrack(gray2, **feature_params)
#使用Lucas-Kanade光流法计算特征点的移动向量:
# 设定Lucas-Kanade光流法的参数
lk_params = dict(winSize=(15, 15), maxLevel=2, criteria=(cv2.TERM_CRITERIA_EPS | cv2.TERM_CRITERIA_COUNT, 10, 0.03))
# 计算特征点的移动向量
p1, st, err = cv2.calcOpticalFlowPyrLK(gray1, gray2, p1, None, **lk_params)
p2, st, err = cv2.calcOpticalFlowPyrLK(gray2, gray1, p2, None, **lk_params)
#计算两张图片的变换矩阵:
# 使用RANSAC算法计算变换矩阵
M, mask = cv2.findHomography(p1, p2, cv2.RANSAC, 5.0)
#将两张图片拼接成一张:
# 计算拼接后的图像大小
h, w = img1.shape[:2]
pts = np.array([[0, 0], [0, h - 1], [w - 1, h - 1], [w - 1, 0]], dtype=np.float32).reshape(-1, 1, 2)
dst = cv2.perspectiveTransform(pts, M)
xmin, ymin = np.int32(dst.min(axis=0).ravel() - 0.5)
xmax, ymax = np.int32(dst.max(axis=0).ravel() + 0.5)
tx, ty = -xmin, -ymin
H, W = xmax - xmin, ymax - ymin
# 计算拼接后的图像
timg = np.zeros((H, W, 3), dtype=np.uint8)
timg[ty:ty + h, tx:tx + w] = img1
# 计算特征连线图
new_p2 = cv2.perspectiveTransform(p2, M)
timg_line = cv2.polylines(timg.copy(), [np.int32(new_p2 + (tx, ty))], True, (0, 255, 255), 1, cv2.LINE_AA)
# 输出特征连线图
cv2.imshow('Feature Lines', timg_line)
cv2.waitKey(0)
# 拼接图加上特征连线
timg = cv2.polylines(timg, [np.int32(new_p2 + (tx, ty))], True, (0, 255, 255), 1, cv2.LINE_AA)
# 输出拼接图
cv2.imshow('Stitched Image', timg)
cv2.waitKey(0)
```