二叉排序树等概论情况下的平均查找长度

在二叉排序树等概率情况下，节点的排列是随机的，假设树的深度为d，则总共有2^d-1个节点。平均查找长度ASL就是每个节点被查找的概率乘以节点的深度之和，再除以总节点数。在二叉排序树中，每个节点被查找的概率都是1/(2^d-1)，因此ASL=（1*1+2*2+...+d*(2^d-1)）/（2^d-1）。这个式子比较复杂，没有直接的通用公式。但是通过计算可以得到，当节点数n较大时，ASL约为1.39*log2(n+1)-1.08。

相关问题

用c++代码求等概论情况下二叉排序树的平均查找长度

下面是用C++实现求二叉排序树等概率情况下的平均查找长度的代码：

#include <iostream>
#include <cmath>
using namespace std;

// 计算二叉排序树等概率情况下的平均查找长度
double binarySearchTreeASL(int n) {
    int d = log2(n+1);  // 树的深度
    double sum = 0;
    for (int i = 1; i <= d; i++) {
        sum += i * pow(2, i-1);
    }
    return sum / (pow(2, d)-1);
}

int main() {
    int n = 100;  // 节点数
    double asl = binarySearchTreeASL(n);
    cout << "等概率情况下二叉排序树的平均查找长度为：" << asl << endl;
    return 0;
}

在这个程序中，我们先计算出二叉排序树的深度d，然后按照公式计算每个节点被查找的概率乘以节点的深度之和，最后除以总节点数，即可得到等概率情况下的平均查找长度。这里我们假设二叉排序树中有100个节点，可以根据实际情况修改节点数n的值进行计算。

设计算法，对给定的二叉排序树，求出在等概论情况下的平均查找长度。用C++语言写出算法

以下是对给定的二叉排序树求出在等概论情况下的平均查找长度的算法，使用了递归实现：

#include <iostream>
using namespace std;

struct TreeNode {
    int val;
    TreeNode* left;
    TreeNode* right;
    TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
};

int getNodeNum(TreeNode* root) { // 计算节点个数
    if (!root) return 0;
    return getNodeNum(root->left) + getNodeNum(root->right) + 1;
}

int getDepth(TreeNode* root) { // 计算树的深度
    if (!root) return 0;
    int leftDepth = getDepth(root->left);
    int rightDepth = getDepth(root->right);
    return max(leftDepth, rightDepth) + 1;
}

double getASL(TreeNode* root) { // 计算平均查找长度
    if (!root) return 0;
    int nodeNum = getNodeNum(root);
    int depth = getDepth(root);
    double sum = 0;
    for (int i = 1; i <= depth; i++) {
        int levelNodes = 0;
        getLevelNodes(root, i, levelNodes);
        sum += i * levelNodes;
    }
    return sum / nodeNum;
}

void getLevelNodes(TreeNode* root, int level, int& levelNodes) { // 计算某一层的节点数
    if (!root) return;
    if (level == 1) {
        levelNodes++;
        return;
    }
    getLevelNodes(root->left, level - 1, levelNodes);
    getLevelNodes(root->right, level - 1, levelNodes);
}

int main() {
    // 构建二叉排序树
    TreeNode* root = new TreeNode(5);
    root->left = new TreeNode(3);
    root->right = new TreeNode(7);
    root->left->left = new TreeNode(1);
    root->left->right = new TreeNode(4);
    root->right->left = new TreeNode(6);
    root->right->right = new TreeNode(8);

    cout << "The average search length is: " << getASL(root) << endl;

    return 0;
}

该算法首先计算出二叉排序树的节点个数和深度，然后分别计算每一层的节点数和该层节点的 ASL，最后求和并除以节点个数即可得到平均查找长度。