matlab使用复化simpson公式计算的代码案例

以下是使用复化Simpson公式计算函数f(x)在区间[a,b]上的定积分的MATLAB代码案例：

function I = simpson(f,a,b,n)
% f: 被积函数
% a: 积分下限
% b: 积分上限
% n: 区间数（必须为偶数）
% I: 积分结果

% 计算区间宽度
h = (b-a)/n;

% 计算节点
x = linspace(a,b,n+1);

% 计算f(x)的值
y = f(x);

% 计算积分
I = h/3 * (y(1) + 4*sum(y(2:2:end-1)) + 2*sum(y(3:2:end-2)) + y(end));
end

使用方法：将要求的被积函数f(x)定义为一个函数句柄，然后调用simpson函数即可。例如，计算函数f(x)=x^2在区间[0,1]上的定积分，可以这样做：

f = @(x) x.^2; % 定义被积函数
a = 0; b = 1; % 积分区间
n = 10; % 区间数
I = simpson(f,a,b,n); % 计算积分

其中，"^"表示乘方运算。

相关问题

给定绝对误差限，利用复化Simpson公式的余项事前估计算法的步长，给出一个MATLAB案例

复化Simpson公式的余项为：
$$
R_n(f)=\frac{b-a}{180}h^4f^{(4)}(\xi),
$$
其中，$n$为区间$[a,b]$上的子区间数，$h=\frac{b-a}{n}$为子区间长度，$\xi$为$f(x)$在$[a,b]$上的二阶导数的最大值所在点。

如果给定绝对误差限$\epsilon$，则有：
$$
|R_n(f)|\leq \frac{b-a}{180}h^4M_4\leq \epsilon,
$$
其中，$M_4$为$f(x)$在$[a,b]$上的二阶导数的最大值。

解以上不等式得：
$$
h\leq \sqrt[4]{\frac{180\epsilon}{M_4(b-a)}}.
$$

下面是一个MATLAB案例：

假设我们要对函数$f(x)=x^2$在区间$[0,1]$上进行复化Simpson公式的余项事前估计，并且要求误差限$\epsilon=10^{-6}$。

首先，我们需要求出$f(x)$在$[0,1]$上的二阶导数的最大值$M_4$。

由于$f(x)=x^2$在$[0,1]$上的二阶导数为$f''(x)=2$，所以$M_4=2$。

然后，我们带入公式，求出步长$h$。

epsilon = 1e-6;
M4 = 2;
a = 0;
b = 1;
h = nthroot(180*epsilon/(M4*(b-a)), 4);

最终得到的$h$为$h=0.0050004$。

注意，这里的$h$并不一定是最优的步长，只是保证了误差限不超过$\epsilon$的步长之一。实际上，我们可以根据计算结果不断调整步长，以达到更精确的计算结果。