设f∈C[a,b]，证明 f[a,b]=[m,M]

首先，我们需要证明 $f[a,b]\subseteq[m,M]$ 和 $[m,M]\subseteq f[a,b]$ 。

证明 $f[a,b]\subseteq[m,M]$ ：

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以 $f$ 在 $[a,b]$ 上一定存在最小值 $m$ 和最大值 $M$。因此，对于 $f$ 在 $[a,b]$ 上的任意一个值 $y$，都有 $m\leq f(x) \leq M$，其中 $x\in[a,b]$。因此，$f[a,b]\subseteq[m,M]$。

证明 $[m,M]\subseteq f[a,b]$ ：

我们需要证明，对于 $[m,M]$ 中的任意一个数 $y$，都存在 $[a,b]$ 中的一个点 $x$，使得 $f(x)=y$。

由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以对于任意一个 $\epsilon>0$，存在 $\delta>0$，使得当 $|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)-f(x_0)|<\epsilon$。由于 $m$ 和 $M$ 都是 $f$ 在 $[a,b]$ 上的极值，因此对于任意的 $\epsilon>0$，都存在 $x_1,x_2\in[a,b]$，使得 $f(x_1)<m+\epsilon$，$f(x_2)>M-\epsilon$。因此，对于任意的 $y\in[m,M]$，都存在一个 $\epsilon>0$，使得 $y\in(f(x_1),f(x_2))$。由于 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续，因此根据介值定理，存在 $x\in[x_1,x_2]$，使得 $f(x)=y$。因此，$[m,M]\subseteq f[a,b]$。

综上所述，$f[a,b]=[m,M]$。