小计有两个储钱罐和 n 枚硬币,由于长期养成的好习惯,两个储钱罐的硬币数量是相等的。现在小计让小明从他的储钱罐里取硬币,小明可以随机任选一个储钱罐取硬币。由于小明的偏爱,他从两个储钱罐取硬币的概率不一定相等,假设他从一个罐取硬币的概率为 x%,则从另一个罐取硬币的概率为 (100-x)%。当小明遇到某一个储钱罐的硬币数量为 0 时,请问另一个储钱罐里剩下的硬币数量的期望值。
时间: 2023-06-19 08:06:01 浏览: 98
设小明从第一个储钱罐取硬币的概率为 x/100,则他从第二个储钱罐取硬币的概率为 (100-x)/100。
设两个储钱罐里的硬币数量均为 n/2,其中一个储钱罐的硬币数量为 0。设另一个储钱罐里剩下的硬币数量为 k 个。
则小明从第一个储钱罐取硬币的概率为 x/100,从第二个储钱罐取硬币且另一个储钱罐里剩下 k 个硬币的概率为 (100-x)/100 * C(n/2-1,k-1)/C(n-1,k-1),其中 C(a,b) 表示从 a 个不同元素中选出 b 个元素的组合数。
同理,小明从第二个储钱罐取硬币的概率为 (100-x)/100,从第一个储钱罐取硬币且另一个储钱罐里剩下 k 个硬币的概率为 x/100 * C(n/2-1,k-1)/C(n-1,k-1)。
因此,另一个储钱罐里剩下的硬币数量的期望值为:
E(k) = (x/100) * Σ(k=0 to n/2-1) k * C(n/2-1,k-1)/C(n-1,k-1) + ((100-x)/100) * Σ(k=0 to n/2-1) k * C(n/2-1,k-1)/C(n-1,k-1)
其中 Σ 表示求和符号。
简化后,可得:
E(k) = (n/2) * (1 - x/100)
因此,当一个储钱罐的硬币数量为 0 时,另一个储钱罐里剩下的硬币数量的期望值为 n/2 * (1 - x/100)。