python求解KKT及对偶问题的代码

KKT条件是最优化问题的必要条件，对偶问题是原问题的对偶形式，可以用于求解原问题的最优解。下面是用Python求解KKT条件及对偶问题的代码示例：

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义原问题
def obj_func(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2

def constraint1(x):
    return x[0] + x[1] - 1

def constraint2(x):
    return x[0] - x[1]

constraints = [{'type': 'ineq', 'fun': constraint1},
               {'type': 'eq', 'fun': constraint2}]

# 求解原问题的最优解
x0 = np.array([0, 0])
sol = minimize(obj_func, x0, method='SLSQP', constraints=constraints)
print("原问题最优解：", sol.x)

# 定义对偶问题
def lagrangian(x, alpha, beta):
    return obj_func(x) + alpha * constraint1(x) + beta * constraint2(x)

def dual_func(alpha, beta):
    x0 = np.array([0, 0])
    sol = minimize(lambda x: -lagrangian(x, alpha, beta), x0, method='SLSQP', constraints=constraints)
    return -sol.fun

# 求解对偶问题的最优解
bounds = [(0, None), (0, None)]
res = minimize(lambda x: -dual_func(x[0], x[1]), bounds=bounds, method='SLSQP')
print("对偶问题最优解：", res.x)

# 求解KKT条件
def kkt_conditions(x, alpha, beta):
    eps = 1e-6
    g1 = constraint1(x)
    g2 = constraint2(x)
    L_x = obj_func(x) + alpha * g1 + beta * g2
    kkt1 = abs(g1) <= eps
    kkt2 = abs(g2) <= eps
    kkt3 = alpha >= 0
    kkt4 = beta >= 0
    kkt5 = abs(alpha * g1) <= eps
    kkt6 = abs(beta * g2) <= eps
    kkt7 = abs(L_x - obj_func(x)) <= eps
    return kkt1, kkt2, kkt3, kkt4, kkt5, kkt6, kkt7

# 验证KKT条件
alpha, beta = res.x
print("KKT条件满足情况：", kkt_conditions(sol.x, alpha, beta))

其中，原问题是一个二次规划问题，包含两个约束条件。对偶问题也是一个二次规划问题，包含两个变量（拉格朗日乘子）。在求解对偶问题的最优解后，可以根据KKT条件验证原问题的最优解是否满足KKT条件。