五、给出一个连通的无向图G, G中边的权仅在1, 2,3中随机取值。试设计一个贪心算法,使得在线性时间内可以生成最小生成树。给出伪代码并分析时间复杂度。
时间: 2023-06-14 11:03:56 浏览: 186
伪代码如下:
1. 将所有边按照权值从小到大排序
2. 初始化一个空的图T
3. 将第一条边加入T
4. 从第二条边开始,依次加入边,如果加入该边后会出现环,则不加入该边
5. 直到T中有n-1条边,其中n为图G中的节点数,此时T即为G的最小生成树
时间复杂度分析:排序的时间复杂度为O(ElogE),依次加入边的时间复杂度为O(ElogV),其中E为边数,V为节点数。因为边数一定小于等于节点数的平方,所以O(ElogV)可以视为线性时间复杂度。因此,整个算法的时间复杂度为O(ElogE),即O(ElogV^2)。
相关问题
给出一个连通的无向图 G, G 中边的权仅在 1, 2, 3 中随机取值。试设计一个贪心算法,使得在线性时间内 可以生成最小生成树。给出伪代码并分析时间复杂度
这道题可以使用Kruskal算法来解决,Kruskal算法的核心是将边按照权值从小到大排序,然后依次加入到最小生成树中,如果加入的边使得图出现环,则不加入该边。具体来说,可以按照以下步骤实现:
1.将边按照权值从小到大排序
2.依次遍历每条边,如果该边的两个端点不在同一个连通块中,则加入该边,并将这两个端点所在的连通块合并
3.重复步骤2,直到最小生成树中包含了n-1条边(n为图中节点数)
伪代码如下:
```
function Kruskal(G):
E = G.edges.sorted_by_weight() //按照权值从小到大排序
T = new Graph() //最小生成树
for v in G.vertices:
make_set(v) //初始化,每个节点都是一个单独的连通块
for e in E:
if find_set(e.u) != find_set(e.v): //如果两个节点不在同一个连通块中
T.add_edge(e) //加入该边
union(e.u, e.v) //合并两个连通块
if len(T.edges) == G.vertices - 1: //最小生成树已经包含了n-1条边
break
return T
```
时间复杂度为O(mlogm+n^2),其中m为边数,n为节点数。排序边的时间复杂度为O(mlogm),依次遍历每条边的时间复杂度为O(m),每次合并两个连通块的时间复杂度为O(n),因此总时间复杂度为O(mlogm+n^2)。
给定联通无向图G,和某条边E1,求E1在多少个最小生成树中出现过
好的,这是一个比较经典的图论问题。对于给定的无向图G和一条边E1,我们可以通过以下步骤来求出E1在多少个最小生成树中出现过:
1. 先求出图G的最小生成树MST。
2. 对于MST中的每条边,如果这条边不等于E1,则将其加入一个列表中(记为L)。
3. 枚举列表L中的每条边,将其从MST中删除,然后求出新的最小生成树MST'。
4. 如果MST'中包含E1,则说明E1出现在MST'中,计数器加1。
5. 重复步骤3和4,直到枚举完列表L中的所有边。
通过这个过程,我们可以求出E1在多少个最小生成树中出现过。需要注意的是,如果图G中存在重边或自环,则最小生成树可能不唯一,需要对所有的最小生成树进行统计。
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