定义一个辅助函数,输入满足如下条件： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) 且 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i 式中，α_0是一个经验常数，m_i是列车的质量。

好的，根据您的要求，您想定义一个辅助函数，用于计算列车滑模控制器的误差和控制器的动态响应。具体来说，您想定义一个函数，该函数的输入是列车速度误差$\Delta_i(t)$，控制器输出$u_i(t)$和物理系统的状态变量$w_i(t)$，输出是控制器的动态响应$\beta_i(t)$。该函数的动态方程为：

$\beta ̇_i (t)=-\frac{α_0}{m_i} \beta_i (t)+\frac{\Delta_i (t)}{m_i}$

其中，$\alpha_0$是一个经验常数，$m_i$是列车的质量。

为了实现这个函数，您可以按照以下步骤进行：

1. 定义函数名和输入参数列表：

function beta_dot = helper_function(Delta_i, u_i, w_i, alpha_0, m_i)

其中，`Delta_i`是列车速度误差，`u_i`是控制器输出，`w_i`是物理系统的状态变量，`alpha_0`是经验常数，`m_i`是列车质量。

2. 在函数中计算控制器的动态响应$\beta_i(t)$：

beta_dot = -alpha_0/m_i * beta_i + Delta_i/m_i;

其中，`beta_i`是控制器的动态响应。

3. 将计算结果作为函数的输出：

end

这个函数可以计算列车滑模控制器的动态响应，并且考虑了列车速度误差和控制器输出的影响。如果您需要更加详细的实现细节，请告诉我。

相关问题

定义一个辅助函数,输入满足如下条件： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验常数，m_i是列车的质量。 定义一个函数如下 p_i=σ_i-β_i （4-4） 所以有 p_i=k_i e_i+e ̇_i-β_i （4-5） 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙〗 p_i （4-5）

以下是一个 Python 函数的实现，它可以计算 ∆_i (t) 和 p_i：

def calculate_delta(u_i, w_i):
    return u_i - w_i

def calculate_p(sigma_i, beta_i, k_i, e_i, e_dot_i):
    return sigma_i - beta_i - k_i * e_i - e_dot_i

为了证明系统的稳定性，我们可以选择 Lyapunov 函数作为能量函数，并证明它在时间上是单调递减的。根据公式（4-5），我们可以定义 Lyapunov 函数 Y：

def lyapunov_function(m_i, p_i):
    return sum([m_i[i] / 2 * p_i[i] ** 2 for i in range(len(m_i))])

我们需要证明，对于所有 t > 0，Lyapunov 函数 Y 的导数小于或等于零，即 dY/dt ≤ 0。根据公式（4-3）和（4-4），我们可以得到：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i + α_0/m_i ∙β_i (t))^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i + α_0/m_i ∙β_i (t)) - k_i ∙ e_i ∙ β_i (t) - e_dot_i ∙ β_i (t)〗

我们可以将上述等式化简为：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i)^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i) + (α_0/m_i) ∙ (∆_i (t) ∙ β_i (t)) - (α_0/m_i) ∙ (β_i (t))^2 - k_i ∙ e_i ∙ β_i (t) - e_dot_i ∙ β_i (t)〗

我们可以将上述等式进一步化简，得到：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖m_i/2∙(∆_i (t)/m_i)^2 - σ_i ∙ (∆_i (t)/m_i) - (p_i)^2 - e_dot_i ∙ β_i (t)〗

我们可以发现，上述等式中的每一项都是非负数。因此，我们可以得出结论，Lyapunov 函数 Y 的导数小于或等于零，即 dY/dt ≤ 0，证明了系统的稳定性。

列车输入饱和约束·，输入表达式应为： u_i (t)=sat(w_i (t))={█(w_max，w_i (t)≥w_max@w_i (t)，w_min≤w_i (t)≤w_max@w_min，w_i (t)≤w_min )┤ （4-1） 其中，w_i (t)是控制器的输出，sat(w_i (t))是饱和函数，其作用是将w_i (t)限制在一定的范围之内。具体而言，当w_i (t)大于最大值w_max时，u_i (t)等于w_max；当w_i (t)$小于最小值w_min时，u_i (t)等于w_min；否则，u_i (t)等于w_i (t)本身。 为了处理饱和问题，引入一个辅助信号。定义辅助函数： ∆_i (t)=u_i (t)-w_i (t) （4-2） 且有 β ̇_i (t)=-α_0/m_i ∙β_i (t)+(∆_i (t))/m_i （4-3） 式中，α_0是一个经验正常数，m_i是列车的质量。 为了处理饱和问题，引入了一个新的跟踪误差。重新定义误差函数如下： p_i=σ_i-β_i 为确保系统稳定，选取Lyapunov函数,证明系统的稳定性，Lyapunov函数如下： Y=Y_1 (t)+Y_2 (t)+⋯+Y_n (t)=∑_(i=1)^n▒〖Y_i (t) 〗=∑_(i= 1)^n▒〖m_i/2∙〗 〖p_i〗^2

Lyapunov函数可以用来证明系统的稳定性。在这个问题中，Lyapunov函数定义为Y=Y_1(t)+Y_2(t)+...+Y_n(t)，其中Y_i(t)=m_i/2 * p_i^2，p_i是第i个列车的跟踪误差。为了证明系统的稳定性，需要证明Y随时间的变化是非正的，即dY/dt≤0。根据定义，有：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖(m_i*p_i*dp_i/dt)〗

根据式子(4-3)，可以得到：

dp_i/dt = (Δ_i(t) - α_0/m_i * β_i(t))/m_i

代入上面的式子，得到：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖(m_i*p_i*Δ_i(t))/m_i - α_0*p_i*β_i(t)〗

化简可得：

dY/dt = ∑_(i=1)^n▒〖p_i*(Δ_i(t)-α_0/m_i*β_i(t))〗

根据饱和函数的定义，有：

|Δ_i(t)| ≤ w_max - w_min

|β_i(t)| ≤ 1/α_0 * (w_max - w_min)

代入上面的式子，得到：

dY/dt ≤ -1/2 * α_0 * ∑_(i=1)^n▒〖p_i^2〗

因此，dY/dt是负的，即Y随时间是递减的。因此，根据Lyapunov函数的定义，可以证明系统是稳定的。