用Python编写求解线性方程组的PCG算法

以下是使用Python编写求解线性方程组的PCG算法的示例代码：

import numpy as np

def pcg(A, b, x0, tol=1e-6, max_iter=1000):
    # 初始化
    r = b - A.dot(x0)
    p = r
    x = x0
    rsold = r.dot(r)

    # 迭代
    for i in range(max_iter):
        Ap = A.dot(p)
        alpha = rsold / p.dot(Ap)
        x = x + alpha * p
        r = r - alpha * Ap
        rsnew = r.dot(r)
        if np.sqrt(rsnew) < tol:
            break
        p = r + (rsnew / rsold) * p
        rsold = rsnew

    return x

在这个代码中，A是一个n x n的系数矩阵，b是一个n维向量，x0是一个n维向量，表示初始解。tol和max_iter分别是收敛精度和最大迭代次数。在迭代过程中，我们计算残差r和搜索方向p，然后更新解x、残差r和搜索方向p，直到满足收敛条件。

这个算法的核心是计算搜索方向p的更新，它是r加上一个与前一次搜索方向p有关的项。这个项的计算需要用到残差的模长的平方rsnew和前一次的残差模长的平方rsold。