用Python编写求解线性方程组的PCG算法

以下是使用Python编写求解线性方程组的PCG算法的示例代码：

import numpy as np

def pcg(A, b, x0, tol=1e-6, max_iter=1000):
    # 初始化
    r = b - A.dot(x0)
    p = r
    x = x0
    rsold = r.dot(r)

    # 迭代
    for i in range(max_iter):
        Ap = A.dot(p)
        alpha = rsold / p.dot(Ap)
        x = x + alpha * p
        r = r - alpha * Ap
        rsnew = r.dot(r)
        if np.sqrt(rsnew) < tol:
            break
        p = r + (rsnew / rsold) * p
        rsold = rsnew

    return x

在这个代码中，A是一个n x n的系数矩阵，b是一个n维向量，x0是一个n维向量，表示初始解。tol和max_iter分别是收敛精度和最大迭代次数。在迭代过程中，我们计算残差r和搜索方向p，然后更新解x、残差r和搜索方向p，直到满足收敛条件。

这个算法的核心是计算搜索方向p的更新，它是r加上一个与前一次搜索方向p有关的项。这个项的计算需要用到残差的模长的平方rsnew和前一次的残差模长的平方rsold。

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用Matlab共轭梯度法求解线性方程组

在Matlab中，可以使用“pcg”函数来求解线性方程组，其中“pcg”是“preconditioned conjugate gradient”的缩写，即预处理共轭梯度法。下面是一个求解线性方程组的示例代码：

% 定义矩阵A和向量b
A = [4 -1 0; -1 4 -1; 0 -1 4];
b = [15; 10; 10];

% 定义预处理矩阵M
M = diag(diag(A));

% 求解线性方程组Ax=b
x = pcg(A, b, 1e-6, 100, M);

disp(x); % 输出解向量x

在上面的代码中，我们首先定义了矩阵A和向量b，然后定义了预处理矩阵M，这里我们选择了对角线矩阵。最后，我们使用“pcg”函数来求解线性方程组Ax=b，其中“1e-6”表示收敛阈值，即当误差小于1e-6时停止迭代，“100”表示最大迭代次数。最后，输出解向量x。

共轭梯度法求解线性方程组Matlab

共轭梯度法是一种求解对称正定线性方程组的迭代方法，可以有效地提高求解效率。在Matlab中，可以使用“pcg”函数来实现共轭梯度法求解线性方程组。

“pcg”函数的基本格式为：

x = pcg(A,b)

其中，A是线性方程组的系数矩阵，b是线性方程组的右端向量，x是线性方程组的解向量。

除此之外，还可以通过指定一些参数来控制共轭梯度法的迭代过程，例如：

- tol：控制迭代收敛的精度，默认值为1e-6；
- maxit：控制最大的迭代次数，默认值为20；
- M：用于指定预处理矩阵，可以使用预处理函数进行指定。

下面是一个示例代码：

% 定义系数矩阵和右端向量
A = [4,-1,0;-1,4,-1;0,-1,4];
b = [1;2;3];

% 使用共轭梯度法求解线性方程组
x = pcg(A,b);

% 输出解向量
disp(x);

使用以上代码可以求解线性方程组Ax=b的解向量x。