[[ 1. 1.] [-1. -1.] [ 2. -2.] [-2. 2.]] 计算协方差矩阵

对于给定的数据集 $X$，协方差矩阵 $\Sigma$ 的计算公式为：

$$\Sigma = \frac{1}{n-1} ((X-\bar{X})^T(X-\bar{X}))$$

其中，$n$ 为数据集中样本的数量，$\bar{X}$ 为数据集在每个特征维度上的均值。

对于给定的数据集 $X = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$，可以计算出每个特征维度上的均值向量 $\bar{X}$：

$$\bar{X} = \begin{bmatrix} \frac{1-1+2-2}{4} & \frac{1-1-2+2}{4} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}$$

然后，将 $X$ 矩阵进行中心化处理，得到中心化的数据矩阵 $Z$：

$$Z = X - \bar{X} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \\ 2 & -2 \\ -2 & 2 \end{bmatrix}$$

然后计算 $Z$ 矩阵的转置矩阵 $Z^T$：

$$Z^T = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 2 & -2 \\ 1 & -1 & -2 & 2 \end{bmatrix}$$

最后，带入协方差矩阵的计算公式，得到协方差矩阵 $\Sigma$：

$$\Sigma = \frac{1}{4-1} ((Z^T Z)) = \frac{1}{3} \begin{bmatrix} 10 & -10 \\ -10 & 10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{10}{3} & -\frac{10}{3} \\ -\frac{10}{3} & \frac{10}{3} \end{bmatrix}$$

因此，给定数据集的协方差矩阵为 $\begin{bmatrix} \frac{10}{3} & -\frac{10}{3} \\ -\frac{10}{3} & \frac{10}{3} \end{bmatrix}$。