教我动态规划

动态规划是一种解决一类最优化问题的算法，它通常用于解决具有重复子问题和最优子结构性质的问题。动态规划算法通常需要使用一个表格来存储中间结果，以便在计算后面的结果时可以重复利用这些中间结果。

下面，我将通过一个简单的例子来介绍动态规划的基本思想和实现方法。

假设有一个长度为n的序列，我们希望找到这个序列中的最长上升子序列（LIS）。最长上升子序列是指在给定的序列中，一个严格递增的子序列，它的长度最长。

为了解决这个问题，我们可以使用动态规划的方法。具体来说，我们可以定义一个数组dp，其中dp[i]表示以第i个元素为结尾的最长上升子序列的长度。对于任意的i<j，如果a[i]<a[j]，那么以第j个元素为结尾的最长上升子序列的长度可以通过将第i个元素加入以第i个元素为结尾的最长上升子序列得到。因此，我们可以使用以下递推式来计算dp[j]：

dp[j] = max(dp[i] + 1)，其中0 <= i < j 且 a[i] < a[j]

最后，我们可以通过遍历dp数组来找到最长的上升子序列的长度，即：

int max_len = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    max_len = max(max_len, dp[i]);
}

完整的动态规划代码如下：

int n = 6;
vector<int> a = { 5, 6, 7, 1, 2, 8 };
vector<int> dp(n, 1);

for (int j = 1; j < n; j++) {
    for (int i = 0; i < j; i++) {
        if (a[i] < a[j]) {
            dp[j] = max(dp[j], dp[i] + 1);
        }
    }
}

int max_len = 0;
for (int i = 0; i < n; i++) {
    max_len = max(max_len, dp[i]);
}

cout << "最长上升子序列的长度为：" << max_len << endl;

这个例子展示了动态规划的基本思想和实现方法，但实际上动态规划可以应用于各种各样的问题。要使用动态规划解决问题，关键是要找到问题中的重复子问题和最优子结构性质，并使用表格来存储中间结果。