α是一个原始元素，它是x4 + x + 1的根。

### 回答1：
根据 α 是 x^4 + x + 1 的根，我们可以得出以下方程：

α^4 + α + 1 = 0

现在我们想要求出 α 的多少次幂等于 1。因为 α 是一个原始元素，它的幂会覆盖所有的非零元素，所以我们只需要找到最小的正整数 k，使得 α^k = 1。

我们可以通过对 α 的幂次进行递推来找到 k。具体来说，我们从 α 开始，不断计算 α 的幂，直到得到 1。同时，我们记录下每次计算得到的幂，以便之后计算 k。

α^1 = α
α^2 = α^2
α^3 = α^2 * α = α^3
α^4 = α^3 * α = α^2 + α + 1 (因为 α^4 = -α-1，代入得到)
α^5 = α^4 * α = α^3 + α^2 + α (同理可得)

可以发现，α^5 = α^1，也就是说，最小的正整数 k 为 5。因此，我们可以将所有的幂次模 5，这样就可以得到所有的 α 的幂次：

α^0 = 1
α^1 = α
α^2 = α^2
α^3 = α^3
α^4 = α^2 + α + 1
α^5 = α

这些幂次可以用于计算任何多项式的离散傅里叶变换，因为 α 是一个原始元素，它的幂会覆盖所有的非零元素。

### 回答2：
根据题目给出的信息，我们知道α是一个原始元素，且它是方程 x^4 + x + 1 = 0 的根。下面我将用300字中文回答这个问题。

方程 x^4 + x + 1 = 0 是一个四次方程，它的根可以有多个。这个方程是一个不可约的四次方程，即不能将它分解为更低次的多个因式相乘。因此，这个方程的解是一个原始元素。

要找出这个方程的解，我们需要求解这个方程。由于这是一个四次方程，求解它可能比较复杂。但是我们可以使用一些数学方法来简化求解过程。

一个常用的方法是使用复数和代数的概念。我们可以将 x^4 + x + 1 = 0 转化为复数形式来求解。假设 α 是这个方程的一个根，那么我们可以设置一个相应的复数 z = α + 1，这样方程将变成 z^4 - z^3 + z^2 - z + 1 = 0。然后，我们可以使用复数分析的方法，例如找到方程的根和极点，来解决这个方程。

根据题目给出的信息，α是 x^4 + x + 1 = 0 方程的一个根。这意味着 α^4 + α + 1 = 0 成立。虽然我们无法直接求解这个方程，但我们可以使用代数的一些性质来推导出α的一些特性。例如，α 的4次幂等于 -α - 1，即 α^4 = -α - 1。

综上所述，α 是方程 x^4 + x + 1 = 0 的一个原始元素，它满足 α^4 = -α - 1。这个方程是一个四次方程，求解它可能比较复杂，但我们可以使用复数和代数的方法来简化求解过程。

### 回答3：
α是一个原始元素，它是多项式x^4 + x + 1的根。所谓原始元素，是指在有限域GF(2^m)中，它的幂次取值范围从1到2^m-2都不重复。在GF(2^m)中，每个元素可以表示为一个m位的二进制数。

对于多项式x^4 + x + 1，它的根α满足α^4 + α + 1 = 0。将α表示为二进制数，则α的幂次可以通过不断平方的方式计算得到。首先，α的平方为α^2，然后α的四次方为α^4，而α的幂次可能一直持续到α^15。通过不断平方运算，α的幂次可以得到如下：

α^0 = 1
α^1 = α
α^2 = α^2
α^3 = α * α^2
α^4 = α^2 * α^2
α^5 = α * α^4
α^6 = α^2 * α^4
...
α^15 = α * α^14 (其中α^14可通过连续平方运算获得)

可以看出，α的幂次一直持续到α^15，而不包括α^16，因此α是一个原始元素。

原始元素在密码学中具有重要的应用。它们可以用于生成密码学中的伪随机数序列，加密算法等。由于原始元素在有限域中的指数幂次具有唯一性，因此原始元素能够提供更高的安全性和复杂度，有助于抵抗密码分析攻击。