摄动法matlab代码

摄动法（Perturbation Method）是一种用于求解非线性常微分方程近似解的方法，通常适用于解析解难以求得的情况下。Matlab代码实现如下：

% 求解非线性常微分方程 y''(x) + y(x)^3 = 0
% 利用摄动法求解

% 定义符号变量
syms x y e

% 近似解的形式
y(x) = y0(x) + e*y1(x) + e^2*y2(x) + O(e^3);

% 将近似解代入微分方程
ode = diff(y,x,2) + y^3 == 0;

% 将近似解展开到一阶项，并忽略高阶小量
ode1 = subs(ode,e,0);
sol1 = dsolve(ode1,y(0)==1,subs(diff(y),x,0)==0);

% 将近似解展开到二阶项，并忽略高阶小量
ode2 = subs(ode,e,0) + e*diff(ode,e) + 1/2*e^2*diff(ode,e,2);
ode2 = subs(ode2,y,y0+e*y1) - ode1 - e*diff(ode1,e);
ode2 = simplify(ode2);
sol2 = dsolve(ode2,y(0)==1,subs(diff(y),x,0)==0);

% 将近似解展开到三阶项，并忽略高阶小量
ode3 = subs(ode,e,0) + e*diff(ode,e) + 1/2*e^2*diff(ode,e,2) + 1/6*e^3*diff(ode,e,3);
ode3 = subs(ode3,y,y0+e*y1+e^2*y2) - ode2 - e*diff(ode2,e) - 1/2*e^2*diff(ode2,e,2);
ode3 = simplify(ode3);
sol3 = dsolve(ode3,y(0)==1,subs(diff(y),x,0)==0);

% 输出结果
y0 = simplify(sol1);
y1 = simplify(sol2 - subs(sol1,e,0));
y2 = simplify(sol3 - subs(sol1,e,0) - subs(sol2,e,0));

disp(['The approximate solution is y(x) = ',char(y0+e*y1+e^2*y2)]);

其中，我们定义了近似解的形式为 $y(x) = y_0(x) + e y_1(x) + e^2 y_2(x) + O(e^3)$，并将其代入微分方程中求解。通过展开到不同阶次，并忽略高阶小量，我们最终得到了近似解的形式。