各类数据挖掘算法中，经常需要度量数据对象（属性）的距离和相似度，下面是几种常用的连续属性数据的度量方法。 （1）闵可夫斯基（Minkowski）距离 其中r是一个参数，n是属性/维度的数目， pk 和 qk分别是两个数据对象p和q第k个属性的值。 ①当r = 1时，称为：街区(曼哈顿, 出租车, L1 范数) 距离 ②当r = 2时，称为： 欧几里得距离（ L2 范数） ③当r ， 称为： “上确界” (Lmax , L 范数) 距离. （2）如果 d1 和 d2 是两个向量数据，那么余弦相似度 cos( d1, d2 ) = (d1 d2) / ||d1|| ||d2|| , 其中 表示向量的点积（内积）， || d || 是向量的模（长度） （3）马哈拉诺比斯（Mahalanobis）距离 其中 是输入数据X的协方差矩阵 根据上面距离和相似度的定义，在Distance.py中补充相关代码，并调试通过运行获取计算结果。 （1）实现街区距离的计算函数。（5分） （2）实现欧几里得距离的计算函数。（5分） （3）实现“上确界”距离的计算函数。（5分） （4）实现余弦相似度的计算函数。（15分） （5）实现马哈拉诺比斯（Mahalanobis）距离的计算函数，使用给定的两个向量做属性数据计算协方差，仅计算首尾两个点的距离即可。 （5分）

下面是实现以上5个函数的代码：

import numpy as np

# 1. 街区距离
def manhattan_distance(x, y):
    return np.sum(np.abs(x - y))

# 2. 欧几里得距离
def euclidean_distance(x, y):
    return np.sqrt(np.sum(np.square(x - y)))

# 3. 上确界距离
def chebyshev_distance(x, y):
    return np.max(np.abs(x - y))

# 4. 余弦相似度
def cosine_similarity(x, y):
    return np.dot(x, y) / (np.linalg.norm(x) * np.linalg.norm(y))

# 5. 马哈拉诺比斯距离
def mahalanobis_distance(x, y, covariance):
    diff = np.array([x[0]-y[0], x[-1]-y[-1]])
    inv_covariance = np.linalg.inv(covariance)
    return np.sqrt(np.dot(np.dot(diff, inv_covariance), diff.T))

其中，街区距离、欧几里得距离和上确界距离的实现比较简单，直接使用 numpy 的函数即可。余弦相似度的计算需要注意向量的点积和模的计算方式，也可以使用 numpy 的函数来实现。马哈拉诺比斯距离需要计算输入数据的协方差矩阵，并对其进行求逆操作，然后计算首尾两个点的距离即可。