有一分数序列：2/1，3/2，5/3，8/5，13/8，21/13...求出这个数列的前 n 项之和, n 由用户输入。

### 回答1：
这个数列其实是著名的斐波那契数列的一种变形，被称为斐波那契分数序列。

斐波那契分数序列的前n项之和可以通过以下方式计算：

1. 初始化分子分母
numerator1, numerator2 = 2, 3
denominator1, denominator2 = 1, 2
2. 初始化和为0
total = 2/1
3. 对于每个i从2到n，执行以下操作：
a. 计算新的分子和分母
numerator = numerator1 + numerator2
denominator = denominator1 + denominator2
b. 将新的分子和分母赋值给之前的分子和分母
numerator1, numerator2 = numerator2, numerator
denominator1, denominator2 = denominator2, denominator
c. 将当前项的值加入和中
total += numerator/denominator
4. 返回和作为结果

下面是一个Python代码示例：

### 回答2：
首先我们要了解这个数列的规律。这个数列被称为斐波那契数列的扩展，斐波那契数列的前两项为1，1，从第三项开始，每一项都为前两项的和。这个数列也是如此，只不过前两项变成了2/1和3/2。

那么我们可以利用斐波那契数列的规律推导出这个数列的通项公式。我们先令第n项为a(n)，那么有：

a(1) = 2/1
a(2) = 3/2
a(n) = a(n-1) + a(n-2) （n > 2）

将其化简得：

a(n) = [a(n-2) + a(n-3)] + [a(n-3) + a(n-4)]
= 2a(n-3) + a(n-4)

根据这个公式，我们可以编写程序计算给定n项的和。

读入一个整数n，然后使用循环计算前n项数的和。在每个循环中，我们需要依据上述通项公式计算出当前项的值，累加到总和中。最后输出总和即可。

以下是Python代码实现：

n = int(input('请输入一个正整数：'))
sum = 2 # 前两项的和已知为2

a = 2 # 第一项
b = 3 / 2 # 第二项

for i in range(3, n+1):
    c = 2 * b + a # 计算当前项
    sum += c # 累加到总和中
    a = b # 更新前两项的值
    b = c

print('前', n, '项之和为：', sum)

这个程序可以计算任意数量的项，并输出它们的总和。

### 回答3：
根据数列的前五项可以看出，这是一个斐波那契数列的变换，即每一项都是前两项的和。假设第 n 项的分数为 a(n)/b(n)，则有以下递推式：

a(n) = a(n-1) + a(n-2)
b(n) = b(n-1) + b(n-2)

其中，a(1) = 2, b(1) = 1，a(2) = 3, b(2) = 2。

根据该递推式可以很容易地编写程序，如下所示：

# -*- coding: utf-8 -*-
def sum_of_series(n):
a, b = 2, 1
if n == 1:
return a / b
elif n == 2:
return (a + 3) / (b + 2)
else:
s = (a + 3) / (b + 2) # 前两项之和
for i in range(3, n + 1):
a, b = a + a(n-1), b + b(n-1)
s += a / b
return s

其中，if-elif-else结构主要是为了处理前两项的情况。第一项直接返回分数2/1，第二项计算前两项之和（即2/1+3/2=7/3），返回其值。

最后，根据用户输入的n，调用sum_of_series函数即可计算出数列的前n项之和。