计算(a) (b)中X_t的ACF

(a) 我们已经得到 $X_t = Z_t^2 = a_t^2 (1 + 0.5 Z_{t-1}^2 + 0.3 Z_{t-2}^2)$，因此
\begin{align*}
\operatorname{ACF}(X_t) &= \operatorname{Corr}(X_t, X_{t-k}) \\
&= \operatorname{Corr}(a_t^2 (1 + 0.5 Z_{t-1}^2 + 0.3 Z_{t-2}^2), a_{t-k}^2 (1 + 0.5 Z_{t-k-1}^2 + 0.3 Z_{t-k-2}^2)) \\
&= \operatorname{Corr}(a_t^2, a_{t-k}^2) + 0.5 \operatorname{Corr}(a_t^2 Z_{t-1}^2, a_{t-k}^2 Z_{t-k-1}^2) + 0.3 \operatorname{Corr}(a_t^2 Z_{t-2}^2, a_{t-k}^2 Z_{t-k-2}^2)
\end{align*}
由于 $a_t$ 是 i.i.d. 的标准正态随机变量，因此 $\operatorname{Corr}(a_t^2, a_{t-k}^2) = \delta_{k,0}$，其中 $\delta$ 表示 Kronecker delta。又由于 $Z_t$ 是平稳的，因此 $\operatorname{Corr}(a_t^2 Z_{t-i}^2, a_{t-k}^2 Z_{t-k-j}^2) = \operatorname{Corr}(a_t^2, a_{t-k}^2) \operatorname{Corr}(Z_{t-i}^2, Z_{t-k-j}^2)$。因此，我们只需要计算 $\operatorname{Corr}(Z_{t-i}^2, Z_{t-k-j}^2)$。

当 $i = k = j = 0$ 时，$\operatorname{Corr}(Z_t^2, Z_t^2) = 1$。当 $i \neq k$ 或 $j \neq 0$ 时，$Z_t$ 和 $Z_{t-i}$ 或 $Z_{t-j}$ 不完全重合，因此它们不相关，即 $\operatorname{Corr}(Z_{t-i}^2, Z_{t-k-j}^2) = 0$。因此，我们有
$$
\operatorname{ACF}(X_t) = \delta_{k,0} + 0.5 \delta_{i,k-1} \delta_{j,0} + 0.3 \delta_{i,k-2} \delta_{j,0}
$$

(b) 我们已经得到 $X_t = |Z_t| = a_t (1 + 0.5 |Z_{t-1}| + 0.3 |Z_{t-2}|)$，因此
\begin{align*}
\operatorname{ACF}(X_t) &= \operatorname{Corr}(X_t, X_{t-k}) \\
&= \operatorname{Corr}(a_t (1 + 0.5 |Z_{t-1}| + 0.3 |Z_{t-2}|), a_{t-k} (1 + 0.5 |Z_{t-k-1}| + 0.3 |Z_{t-k-2}|)) \\
&= \operatorname{Corr}(a_t, a_{t-k}) + 0.5 \operatorname{Corr}(a_t |Z_{t-1}|, a_{t-k} |Z_{t-k-1}|) + 0.3 \operatorname{Corr}(a_t |Z_{t-2}|, a_{t-k} |Z_{t-k-2}|)
\end{align*}
由于 $a_t$ 是 i.i.d. 的标准正态随机变量，因此 $\operatorname{Corr}(a_t, a_{t-k}) = \delta_{k,0}$。又由于 $|Z_t|$ 是平稳的，因此 $\operatorname{Corr}(a_t |Z_{t-i}|, a_{t-k} |Z_{t-k-j}|) = \operatorname{Corr}(a_t, a_{t-k}) \operatorname{Corr}(|Z_{t-i}|, |Z_{t-k-j}|)$。因此，我们只需要计算 $\operatorname{Corr}(|Z_{t-i}|, |Z_{t-k-j}|)$。

当 $i = k = j = 0$ 时，$\operatorname{Corr}(|Z_t|, |Z_t|) = 1$。当 $i \neq k$ 或 $j \neq 0$ 时，$Z_t$ 和 $Z_{t-i}$ 或 $Z_{t-j}$ 不完全重合，因此它们不相关，即 $\operatorname{Corr}(|Z_{t-i}|, |Z_{t-k-j}|) = 0$。因此，我们有
$$
\operatorname{ACF}(X_t) = \delta_{k,0} + 0.5 \delta_{i,k-1} \delta_{j,0} + 0.3 \delta_{i,k-2} \delta_{j,0}
$$