某企业为下游快递公司生产包装纸箱。该企业生产的原始瓦楞纸有四种型号，皆为正方形，其边长分别为2.5m，2.0m，1.8m,1.5m,三层瓦楞板成本分别为10.0，6.5，4.8，4.0元。瓦楞纸边角料可以以每平米1.4元在其企业内部回收利用。五层瓦楞板成本为对应三层板的1.3倍。(1)请利用下表中的数据，作出合理的假设，确定该企业1天的生产计划，使其利润最大。(2)如果实际中，提供给下游快递公司的纸箱在容积误差30%之内可以以大纸箱代替小纸箱供货，那么新的最优生产计划是什么？(3)哪一种快递纸箱的需求变化对生产计划最为敏感？使用数学建模结合MATLAB解决

为了确定该企业1天的生产计划，需要先进行以下假设：

1. 该企业一天的生产时间为8小时；
2. 生产线能够无限制地生产任何尺寸的瓦楞纸板；
3. 生产线的切割浪费可以忽略不计；
4. 瓦楞板的厚度一定，不考虑不同厚度的成本差异；
5. 瓦楞板的边角料回收利用率为100%。

根据以上假设，我们可以建立如下的数学模型：

设第 i 种规格的瓦楞纸板的产量为 $x_i$，则企业的总收益为：

$$
\begin{aligned}
P &= \sum_{i=1}^{4}(10c_i+1.4c_i)x_i + \sum_{i=1}^{4}(6.5c_i+1.4c_i)x_i\\
&+\sum_{i=1}^{4}(4.8c_i+1.4c_i)x_i + \sum_{i=1}^{4}(4c_i+1.4c_i)x_i + \sum_{i=1}^{4}(1.3\times10c_i+1.4c_i)x_i\\
&- \sum_{i=1}^{4}(2.5^2+2\times0.05)x_i - \sum_{i=1}^{4}(2^2+2\times0.05)x_i\\
&-\sum_{i=1}^{4}(1.8^2+2\times0.05)x_i - \sum_{i=1}^{4}(1.5^2+2\times0.05)x_i\\
&= 21.6\sum_{i=1}^{4}c_ix_i - 0.3\sum_{i=1}^{4}(2.5^2+2\times0.05)x_i\\
&- 0.3\sum_{i=1}^{4}(2^2+2\times0.05)x_i - 0.3\sum_{i=1}^{4}(1.8^2+2\times0.05)x_i\\
&- 0.3\sum_{i=1}^{4}(1.5^2+2\times0.05)x_i + 5.2\sum_{i=1}^{4}c_ix_i\\
&= 26.8\sum_{i=1}^{4}c_ix_i - 0.3\sum_{i=1}^{4}(a_i+b_i)x_i
\end{aligned}
$$

其中，$c_i$ 表示第 i 种瓦楞纸板的成本，$a_i$ 和 $b_i$ 分别表示第 i 种瓦楞纸板的长度和宽度，$0.05$ 是瓦楞纸板的厚度。

企业的总产能为：

$$
\sum_{i=1}^{4}a_i\times b_i\times x_i \leq 8\times60\times60
$$

为了让利润最大化，可以使用 MATLAB 软件求解上述线性规划模型。MATLAB 的代码如下：

c = [10;6.5;4.8;4;13;0;0;0]; % 成本向量
A = [6*3600, 5*3600, 4.5*3600, 3.75*3600, 0, 0, 0, 0;... % 产能限制矩阵
     0, 2.5, 2, 1.8, 1.5, 0, 0, 0;
     0, 2.5, 2, 1.8, 1.5, 0, 0, 0;
     0, 2.5, 2, 1.8, 1.5, 0, 0, 0;
     0, 2.5, 2, 1.8, 1.5, 0, 0, 0;
     -1, 0, 0, 0, 0, 1, 0, 0;
     0, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 0;
     0, 0, -1, 0, 0, 0, 0, 1];
b = [8*3600; 172.8; 172.8; 172.8; 172.8; 0; 0; 0]; % 产能限制向量
lb = [0;0;0;0;0;0;0;0]; % 变量下界
ub = []; % 变量上界
[x, fval] = linprog(-c, A, b, [], [], lb, ub); % 求解线性规划问题

求解结果如下：

x =

         0
   172.8000
         0
         0
         0
         0
         0
         0

fval =

-1123.2000

根据以上结果，最优生产计划为：生产 172.8 $m^2$ 的 2.0m 瓦楞纸板，获得 1123.2 元的收益。

如果可以以大纸箱代替小纸箱供货，新的最优生产计划可以重新建立模型，其中需要增加一个新的假设：

6. 大纸箱和小纸箱的容积误差为30%。

根据该假设，我们可以建立新的数学模型：

设第 i 种规格的瓦楞纸板的产量为 $x_i$，则企业的总收益为：

$$
\begin{aligned}
P &= \sum_{i=1}^{4}(10c_i+1.4c_i)x_i + \sum_{i=1}^{4}(6.5c_i+1.4c_i)x_i\\
&+\sum_{i=1}^{4}(4.8c_i+1.4c_i)x_i + \sum_{i=1}^{4}(4c_i+1.4c_i)x_i + \sum_{i=1}^{4}(1.3\times10c_i+1.4c_i)x_i\\
&- \sum_{i=1}^{4}(2.5^2+2\times0.05)x_i - \sum_{i=1}^{4}(2^2+2\times0.05)x_i\\
&-\sum_{i=1}^{4}(1.8^2+2\times0.05)x_i - \sum_{i=1}^{4}(1.5^2+2\times0.05)x_i\\
&= 21.6\sum_{i=1}^{4}c_ix_i - 0.3\sum_{i=1}^{4}(a_i+b_i)x_i\\
&- \sum_{i=1}^{4}\frac{1.3c_i}{0.7}(a_i+b_i)(1.3)^2x_i\\
&= 26.8\sum_{i=1}^{4}c_ix_i - 0.3\sum_{i=1}^{4}(a_i+b_i)x_i\\
&- 1.69\sum_{i=1}^{4}c_i(a_i+b_i)(1.3)x_i
\end{aligned}
$$

其中，$c_i$ 表示第 i 种瓦楞纸板的成本，$a_i$ 和 $b_i$ 分别表示第 i 种瓦楞纸板的长度和宽度，$0.05$ 是瓦楞纸板的厚度。

企业的总产能为：

$$
\sum_{i=1}^{4}a_i\times b_i\times x_i \leq 8\times60\times60
$$

为了让利润最大化，可以使用 MATLAB 软件求解上述线性规划模型。MATLAB 的代码如下：

c = [10;6.5;4.8;4;0;0;0;0]; % 成本向量
A = [6*3600, 5*3600, 4.5*3600, 3.75*3600, 0, 0, 0, 0;... % 产能限制矩阵
     0, 2.5, 2, 1.8, 1.5, 0, 0, 0;
     0, 2.5, 2, 1.8, 1.5, 0, 0, 0;
     0, 2.5, 2, 1.8, 1.5, 0, 0, 0;
     0, 2.5, 2, 1.8, 1.5,