设A={1,2,3},判断下列A上的二元关系各具有什么性质,(1)R1={<1,1>,<1,2>,<3,1>,<3,2>} (2)R2={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,3>}
时间: 2024-06-07 12:10:24 浏览: 34
对于二元关系R,常见的性质有自反性、对称性、反对称性和传递性。
(1) R1={<1,1>,<1,2>,<3,1>,<3,2>}
- 自反性:对于任意的a∈A,都有(a,a)∈R1,即R1是自反的。
- 对称性:对于任意的a,b∈A,若(a,b)∈R1,则(b,a)∈R1,因此R1是对称的。
- 反对称性:对于任意的a,b∈A,若(a,b)∈R1且(b,a)∈R1,则a=b,因此R1是反对称的。
- 传递性:对于任意的a,b,c∈A,若(a,b)∈R1且(b,c)∈R1,则(a,c)∈R1,因此R1是传递的。
综上所述,R1是自反的、对称的、传递的,但不是反对称的。
(2) R2={<1,1>,<1,2>,<2,2>,<2,3>,<3,2>,<1,3>,<3,3>}
- 自反性:对于任意的a∈A,都有(a,a)∈R2,即R2是自反的。
- 对称性:对于任意的a,b∈A,若(a,b)∈R2,则(b,a)∈R2,因此R2是对称的。
- 反对称性:对于任意的a,b∈A,若(a,b)∈R2且(b,a)∈R2,则a=b,因此R2是反对称的。
- 传递性:对于任意的a,b,c∈A,若(a,b)∈R2且(b,c)∈R2,则(a,c)∈R2,因此R2是传递的。
综上所述,R2是自反的、对称的、反对称的、传递的,因此R2是等价关系。
相关问题
设A={1,2,3},判断下列A上的二元关系各具有什么性质,(1)R1={<1,1>,<1,2>,<3,1>,<3,2>}
对于集合A={1,2,3}上的二元关系R1={<1,1>,<1,2>,<3,1>,<3,2>},它具有以下性质:
1. 自反性:对于任意的a∈A,都有(a,a)∈R1,即每个元素都与自身有关系。因为R1中包含了(1,1)、(3,3)这两个元素对,所以R1是自反的。
2. 非对称性:对于任意的a,b∈A,如果(a,b)∈R1,那么(b,a)∉R1,即不能同时存在aR1b和bR1a。因为R1中包含了(1,2)、(3,1)、(3,2)这三个元素对,所以R1是非对称的。
3. 传递性:对于任意的a,b,c∈A,如果(a,b)∈R1且(b,c)∈R1,那么(a,c)∈R1,即如果aR1b且bR1c,则aR1c。因为在R1中不存在元素对(b,a),所以R1满足传递性。
因此,R1是一个自反的、非对称的、传递的二元关系。
设A={1,2,3},则A上有几个二元关系,为什么
根据定义,一个二元关系是指由集合中的有序数对构成的集合。对于集合A={1,2,3},可以有以下数对构成的二元关系:
{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}
共有9个数对,因此A上共有9个二元关系。这是因为对于数对中的每个元素,它可以与A中的任何一个元素构成一个数对,且每个元素可以重复使用,因此总共有A中元素个数的平方个可能的数对,即9个二元关系。
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