crank-nicolson差分格式具体实例应用

Crank-Nicolson差分格式是求解偏微分方程的一种数值方法，它可以用于求解一维或二维的热传导、扩散、对流等问题。下面以一维热传导方程为例，介绍Crank-Nicolson差分格式的具体实例应用。

假设我们要求解下面的一维热传导方程：

$$\frac{\partial u}{\partial t}=k\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$

其中，$u(x,t)$为温度场，$k$为热传导系数。为了使用Crank-Nicolson差分格式求解该方程，我们需要对其进行离散化处理。假设将$x$轴方向分为$n$个网格点，将时间$t$分为$m$个时间步长，其中每个时间步长为$\Delta t$。则有：

$$x_i=i\Delta x, \quad t_j=j\Delta t$$

其中，$i=0,1,2,...,n$，$j=0,1,2,...,m$。

接下来，我们采用中心差分法对偏导数进行离散化处理。具体来说，我们将$x$轴方向上的二阶导数表示为：

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\approx\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2}$$

将时间方向上的一阶导数表示为：

$$\frac{\partial u}{\partial t}\approx\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}$$

将上述离散化后的偏导数代入原方程，得到：

$$\frac{u_{i,j+1}-u_{i,j}}{\Delta t}=k\frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{(\Delta x)^2}$$

将上式变形，得到：

$$-\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2}u_{i-1,j+1}+(1+\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2})u_{i,j+1}-\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2}u_{i+1,j+1}=\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2}u_{i-1,j}+(1-\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2})u_{i,j}+\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2}u_{i+1,j}$$

上式中，左侧表示时间步$j+1$时刻的温度分布，右侧表示时间步$j$时刻的温度分布。为了求解上述方程组，我们可以使用矩阵形式表示：

$$AU_{j+1}=BU_j$$

其中，$U_j=[u_{0,j},u_{1,j},...,u_{n,j}]^T$表示时间步$j$时刻的温度分布，$A$和$B$分别为系数矩阵，具体形式为：

$$A=\begin{pmatrix} 1+\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2} & -\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & 0 & \cdots & 0 \\ -\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & 1+\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2} & -\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & -\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & 1+\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2} & -\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} \\ 0 & \cdots & 0 & -\frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & 1+\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2} \end{pmatrix}$$

$$B=\begin{pmatrix} 1-\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2} & \frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & 0 & \cdots & 0 \\ \frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & 1-\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2} & \frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & \frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & 1-\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2} & \frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} \\ 0 & \cdots & 0 & \frac{k\Delta t}{(\Delta x)^2} & 1-\frac{2k\Delta t}{(\Delta x)^2} \end{pmatrix}$$

使用LU分解等方法求解上述方程组即可得到时间步$j+1$时刻的温度分布$U_{j+1}$。重复上述过程，直到求解到最后一个时间步为止。

这就是Crank-Nicolson差分格式的具体实例应用。需要注意的是，该方法的求解精度与网格划分、时间步长的选取有关，需要根据实际问题进行调整。