Python分析捕食者和被捕食者模型 Lotka--Volterra方程

Lotka--Volterra方程是一种描述生态系统中捕食者和被捕食者之间相互作用的数学模型。它由两个微分方程组成，一个描述被捕食者的数量变化，另一个描述捕食者的数量变化。

被捕食者数量变化的微分方程可以写成以下形式：

$$
\frac{dN}{dt} = rN - cNP
$$

其中，$N$表示被捕食者的数量，$r$是被捕食者的自然增长率，$c$是捕食者每个单位时间捕食被捕食者的数量，$P$是捕食者的数量。

捕食者数量变化的微分方程可以写成以下形式：

$$
\frac{dP}{dt} = acNP - mP
$$

其中，$a$是捕食者每个单位时间捕食被捕食者的成功率，$m$是捕食者的自然死亡率。

这两个微分方程组成了Lotka--Volterra方程，可以用Python进行分析。

首先，我们需要导入必要的库：numpy和matplotlib。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

接下来，我们定义Lotka--Volterra方程的函数：

def lotka_volterra(x, y, a, r, c, m):
    dx = r*x - c*x*y
    dy = a*c*x*y - m*y
    return dx, dy

其中，$x$表示被捕食者的数量，$y$表示捕食者的数量，$a$、$r$、$c$和$m$分别表示Lotka--Volterra方程中的参数。

然后，我们定义初始值，并使用odeint函数求解微分方程：

from scipy.integrate import odeint

x0 = 10
y0 = 1
a = 0.01
r = 1.0
c = 0.1
m = 0.1

t = np.linspace(0, 100, 1000)
sol = odeint(lotka_volterra, (x0, y0), t, args=(a, r, c, m))

最后，我们使用matplotlib库绘制被捕食者和捕食者数量随时间变化的图像：

plt.plot(t, sol[:, 0], label='Prey')
plt.plot(t, sol[:, 1], label='Predator')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Population')
plt.legend()
plt.show()

完整代码如下：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint

def lotka_volterra(x, y, a, r, c, m):
    dx = r*x - c*x*y
    dy = a*c*x*y - m*y
    return dx, dy

x0 = 10
y0 = 1
a = 0.01
r = 1.0
c = 0.1
m = 0.1

t = np.linspace(0, 100, 1000)
sol = odeint(lotka_volterra, (x0, y0), t, args=(a, r, c, m))

plt.plot(t, sol[:, 0], label='Prey')
plt.plot(t, sol[:, 1], label='Predator')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Population')
plt.legend()
plt.show()

运行结果如下图所示：