SRSWOR方差公式推导

SRSWOR（simple random sampling without replacement，无放回简单随机抽样）方差公式的推导如下：

设总体大小为N，样本大小为n，第一次抽样时选中第i个个体的概率为pi，则有：

pi = n/N （当i属于样本时），pi = 0 （当i不属于样本时）

样本均值的期望值为：

E(x) = 1/n * Σ(xi * pi) （i=1到N）

其中，xi是第i个个体的取值。根据期望的线性性质，有：

E(x) = 1/n * Σ(xi * pi) = 1/n * Σ(xi * n/N)
= (1/N) * Σxi

样本方差的定义为：

s^2 = 1/(n-1) * Σ(xi - x)^2

将样本均值代入上式，有：

s^2 = 1/(n-1) * Σ(xi - 1/N * Σxi)^2

根据差的平方公式，有：

s^2 = 1/(n-1) * Σ(xi^2 - 2 * xi * 1/N * Σxi + 1/N^2 * Σxi^2)

对式子进行展开和简化，有：

s^2 = 1/(n-1) * (n/N * Σxi^2 - (1/N * Σxi)^2)

将样本均值的表达式代入上式，有：

s^2 = 1/(n-1) * (n/N * Σxi^2 - (N/N^2 * Σxi^2)^2)

化简得到：

s^2 = (N-n)/(N-1) * (1/n * Σxi^2 - (1/N * Σxi)^2)

这就是SRSWOR抽样的方差公式。其中，1/n * Σxi^2 - (1/N * Σxi)^2 为样本均值的方差，(N-n)/(N-1)为修正系数，用于校正因为抽样误差而导致的方差偏小的问题。