利用mySQL，按照要求编写程序：使用循环结构while语句创建一个自定义函数，输入开始和结束整数，得到两者之间所有整数之和。

下面是使用MySQL编写的函数，可以输入开始和结束整数，得到它们之间所有整数之和：

DELIMITER $$
CREATE FUNCTION SUM_BETWEEN(start_num INT, end_num INT)
RETURNS INT
DETERMINISTIC
BEGIN
  DECLARE total INT DEFAULT 0;
  WHILE start_num <= end_num DO
    SET total = total + start_num;
    SET start_num = start_num + 1;
  END WHILE;
  RETURN total;
END $$
DELIMITER ;

这个函数使用了循环结构while语句，通过累加每个整数来计算它们之间的总和。在循环过程中，我们使用了三个变量：start_num表示开始整数，end_num表示结束整数，total表示它们之间所有整数的总和。最后，我们使用RETURN语句返回总和。

要使用这个函数，只需要在MySQL中调用它并传入开始和结束整数，例如：

SELECT SUM_BETWEEN(1, 10); -- 返回55