转化成算式$$w_i=\sqrt{\frac{1}{w_i}}e^{-\frac{w_i}{2nx\delta_i^2}}$$

首先，将指数中的分母移到根号下面，得到：

$$w_i=\sqrt{\frac{1}{w_i}}e^{-\frac{1}{2nx}\cdot\frac{w_i}{\delta_i^2}}$$

接着，将根号中的分母移到指数中，得到：

$$w_i=e^{-\frac{1}{2nx}\cdot\frac{w_i}{\delta_i^2}+\frac{1}{2}\ln\frac{1}{w_i}}$$

再将指数中的分数拆开，得到：

$$w_i=e^{-\frac{1}{2nx}\cdot\frac{w_i}{\delta_i^2}}\cdot e^{\frac{1}{2}\ln\frac{1}{w_i}}$$

化简指数中的对数，得到：

$$w_i=e^{-\frac{1}{2nx}\cdot\frac{w_i}{\delta_i^2}}\cdot \left(\frac{1}{\sqrt{w_i}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

继续化简，得到：

$$w_i=\sqrt{\frac{1}{w_i}}\cdot e^{-\frac{w_i}{2nx\delta_i^2}}$$

因此，原式得证。

相关问题

转化成手写公式$$w_i=\sqrt{\frac{1}{w_i}}e^{-\frac{w_i}{2nx\delta_i^2}}$$

$$w_i=\sqrt{\frac{1}{w_i}}e^{-\frac{w_i}{2nx\delta_i^2}}$$

Explanation:

This formula represents the weight assigned to the i-th data point in a Gaussian mixture model. The weight is inversely proportional to the variance of the Gaussian distribution and also decreases exponentially with the distance of the data point from the mean.

$$P_{s_1^z = \frac{1}{2}\hbar} = \langle \chi | \frac{1}{2} \hbar \otimes I | \chi \rangle$$$$P_{s_2^z = \frac{1}{2}\hbar} = \langle \chi | I \otimes \frac{1}{2} \hbar | \chi \rangle$$其中，$I$ 表示恒等算符。代入 $| \chi \rangle$ 的表达式，我们有： $$\begin{aligned} P_{s_1^z = \frac{1}{2}\hbar} &= \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 + \left| \frac{1}{\sqrt{6}} \right|^2 = \frac{2}{3} \\ P_{s_2^z = \frac{1}{2}\hbar} &= \left| \frac{1}{\sqrt{2}} \right|^2 + \left| -\frac{1}{2\sqrt{3}} \right|^2 = \frac{7}{12} \end{aligned}$$因此，$s_1^z = \frac{1}{2}\hbar$ 的概率为 $\frac{2}{3}$，$s_2^z = \frac{1}{2}\hbar$ 的概率为 $\frac{7}{12}$写成我看得懂的形式

这段话涉及到了量子力学中的概率计算。其中，$P_{s_1^z = \frac{1}{2}\hbar}$ 表示测量粒子 $1$ 自旋在 $z$ 方向上得到值为 $\frac{1}{2}\hbar$ 的概率，$P_{s_2^z = \frac{1}{2}\hbar}$ 同理表示测量粒子 $2$ 自旋在 $z$ 方向上得到值为 $\frac{1}{2}\hbar$ 的概率。式子中的 $| \chi \rangle$ 是一个两粒子态，$\otimes$ 表示张量积，$I$ 表示恒等算符。最后的计算结果是，$s_1^z = \frac{1}{2}\hbar$ 的概率为 $\frac{2}{3}$，$s_2^z = \frac{1}{2}\hbar$ 的概率为 $\frac{7}{12}$。