有向图的关联矩阵与邻接矩阵有何联系

有向图的邻接矩阵和关联矩阵都是表示有向图的常用矩阵表示方法。

邻接矩阵是一个 $n\times n$ 的矩阵，其中 $n$ 表示有向图中顶点的个数。如果 $i$ 到 $j$ 有一条有向边，则邻接矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列为 $1$，否则为 $0$。

而关联矩阵是一个 $n\times m$ 的矩阵，其中 $n$ 表示有向图中的顶点数，$m$ 表示有向边的数量。如果第 $i$ 个顶点和第 $j$ 条边之间有关联，则关联矩阵中的第 $i$ 行第 $j$ 列为 $1$ 或 $-1$，表示该边是从 $i$ 开始或者结束。

它们的联系在于，我们可以从邻接矩阵中得到关联矩阵。具体地，设邻接矩阵为 $A$，则关联矩阵 $B$ 可以通过以下方法得到：

1. 对于邻接矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列为 $1$ 的元素，假设这是一条从 $i$ 到 $j$ 的边，则在关联矩阵中的第 $i$ 行第 $k$ 列和第 $j$ 行第 $k$ 列分别为 $1$ 和 $-1$，其中 $k$ 是表示第 $i$ 到 $j$ 的第 $k$ 条边。
2. 对于邻接矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列为 $0$ 的元素，则在关联矩阵中的第 $i$ 行和第 $j$ 行的所有列都为 $0$。

因此，关联矩阵可以从邻接矩阵中计算得到。

相关问题

关联矩阵转为邻接矩阵

关联矩阵和邻接矩阵都是用来表示图数据结构的两种不同形式。关联矩阵通常用于表示网络中实体之间的关系或联系，其中每个元素（通常是矩阵中的一个条目）代表两个实体之间的连接权重或存在状态（如0或1）。这种矩阵通常是对称的，即如果实体A和B之间有关联，那么B和A之间的关联也会被记录。

邻接矩阵，又称为邻接表的对角矩阵表示，是一种更直接的方法来表示图。在邻接矩阵中，矩阵的行和列对应图中的节点，矩阵的每个元素(a[i][j])代表节点i到节点j是否存在边，以及边的属性（如果有边的话）。对于无向图，邻接矩阵是对称的；对于有向图，矩阵是对角线以上的元素表示出边的方向。非零的元素值可能是一个整数，表示边的权值，也可能是一个布尔值，表示边是否存在。

将关联矩阵转换为邻接矩阵的过程如下：
1. 如果关联矩阵中的某个元素为1或True，表示两个节点之间存在连接，则在对应的邻接矩阵位置设置1或True，表示从节点i到节点j有一条边。
2. 对于权重或关系强度，如果关联矩阵包含这些信息，邻接矩阵通常会将这些权重作为元素值存储。
3. 如果关联矩阵是稀疏的（即大部分元素为0），邻接矩阵可能会更节省空间，因为只存储非零元素。

从关联矩阵生成邻接矩阵

从关联矩阵生成邻接矩阵的过程如下：
1. 首先，我们需要了解什么是关联矩阵和邻接矩阵。
- 关联矩阵是表示图中顶点和边之间关系的一种矩阵表示方法。矩阵的行代表顶点，列代表边，矩阵中的元素表示对应顶点和边之间的关系。
- 邻接矩阵是表示图中顶点之间关系的一种矩阵表示方法。矩阵的行和列都代表顶点，矩阵中的元素表示对应顶点之间是否存在边。

2. 从关联矩阵生成邻接矩阵的步骤如下：
- 创建一个空的邻接矩阵，大小为顶点的数量。
- 遍历关联矩阵的每一列，对于每一列中值为1的行，将对应的两个顶点在邻接矩阵中的位置标记为1。
- 如果是有向图，则只需要将对应位置标记为1即可；如果是无向图，则需要将对称位置也标记为1。

3. 举个例子来说明：
假设有一个关联矩阵如下所示：

   0 1 1
   1 0 0
   1 1 0

首先创建一个3x3的空邻接矩阵：

   0 0 0
   0 0 0
   0 0 0

然后遍历关联矩阵的每一列，对于每一列中值为1的行，将对应的两个顶点在邻接矩阵中的位置标记为1：
- 第一列中，第1行和第3行的值为1，所以在邻接矩阵中将(1,3)和(3,1)的位置标记为1。
- 第二列中，第1行的值为1，所以在邻接矩阵中将(1,2)的位置标记为1。
- 第三列中，第1行和第2行的值为1，所以在邻接矩阵中将(1,3)和(3,1)的位置标记为1。
最终得到的邻接矩阵为：

   0 1 1
   1 0 0
   1 1 0