计一个计算器应用程序，用于进行简单的加减乘除四则运算。要求能够对输入的算式判断运算符优先级，允许在表达式中出现常用的数学函数，如绝对值、取整、三角函数、倒数、平方根、平方、立方等。

这是一个比较复杂的应用程序，需要涉及到四则运算、运算符优先级、数学函数等多个方面，下面是一个简单的实现：

import math

# 定义支持的函数列表
functions = {
    'abs': abs,
    'ceil': math.ceil,
    'floor': math.floor,
    'sqrt': math.sqrt,
    'sin': math.sin,
    'cos': math.cos,
    'tan': math.tan,
    'asin': math.asin,
    'acos': math.acos,
    'atan': math.atan,
    'log': math.log,
    'log10': math.log10,
    'exp': math.exp,
    'pow': math.pow,
}

# 定义运算符优先级
precedence = {
    '+': 1,
    '-': 1,
    '*': 2,
    '/': 2,
    '^': 3,
}

# 判断一个字符是否是数字
def is_number(s):
    try:
        float(s)
        return True
    except ValueError:
        return False

# 将中缀表达式转换为后缀表达式
def infix_to_postfix(expression):
    result = []
    stack = []
    for token in expression.split():
        if is_number(token):
            result.append(float(token))
        elif token in functions:
            stack.append(token)
        elif token == '(':
            stack.append(token)
        elif token == ')':
            while stack[-1] != '(':
                result.append(stack.pop())
            stack.pop()
            if len(stack) > 0 and stack[-1] in functions:
                result.append(stack.pop())
        else:
            while len(stack) > 0 and stack[-1] != '(' and precedence[stack[-1]] >= precedence[token]:
                result.append(stack.pop())
            stack.append(token)
    while len(stack) > 0:
        result.append(stack.pop())
    return result

# 计算后缀表达式的值
def evaluate_postfix(expression):
    stack = []
    for token in expression:
        if isinstance(token, float):
            stack.append(token)
        elif token in functions:
            if token == 'pow':
                arg2 = stack.pop()
                arg1 = stack.pop()
                stack.append(functions[token](arg1, arg2))
            else:
                arg = stack.pop()
                stack.append(functions[token](arg))
        else:
            arg2 = stack.pop()
            arg1 = stack.pop()
            if token == '+':
                stack.append(arg1 + arg2)
            elif token == '-':
                stack.append(arg1 - arg2)
            elif token == '*':
                stack.append(arg1 * arg2)
            elif token == '/':
                stack.append(arg1 / arg2)
            elif token == '^':
                stack.append(math.pow(arg1, arg2))
    return stack[0]

# 计算表达式的值
def evaluate(expression):
    postfix = infix_to_postfix(expression)
    value = evaluate_postfix(postfix)
    return value

# 测试代码
expression = '1 + 2 * 3 - 4 / 2 ^ 2'
value = evaluate(expression)
print(expression, '=', value)

expression = 'sqrt(4) + 3 * abs(-2) - ceil(2.5)'
value = evaluate(expression)
print(expression, '=', value)

这段代码定义了一个 `functions` 字典，用于存储支持的函数，同时定义了一个 `precedence` 字典，用于存储运算符的优先级。然后，定义了 `infix_to_postfix` 函数，用于将中缀表达式转换为后缀表达式。该函数使用了一个栈来辅助转换，并利用 `precedence` 字典来判断运算符的优先级。接着，定义了 `evaluate_postfix` 函数，用于计算后缀表达式的值。该函数同样使用了一个栈来辅助计算，并利用 `functions` 字典来支持数学函数。最后，定义了 `evaluate` 函数，用于计算表达式的值。该函数调用了 `infix_to_postfix` 和 `evaluate_postfix` 两个函数，并返回计算结果。

可以通过运行测试代码来测试该计算器应用程序。第一个表达式 `1 + 2 * 3 - 4 / 2 ^ 2` 是一个简单的四则运算表达式，其结果应该为 6。第二个表达式 `sqrt(4) + 3 * abs(-2) - ceil(2.5)` 包含了多个数学函数，其结果应该为 7。