C语言利用动态规划算法写一个实验 实验内容：假设有五个物品，重量为（2，5，4，2，3），价值为（6，3，5，4，6），购物车容量为10。利用动态规划算法求出购物车可装入物品的最大价值和装入物品。 要求:写出详细步骤并写出每个步骤相应的代码

动态规划算法的思路是将原问题分解为若干个子问题，先求解子问题，再由子问题的解推导出原问题的解。对于该购物车问题，我们可以将其分解为子问题：若只考虑前 i 个物品，总重量不超过 j，最多能装多少价值的物品。

设 V(i,j) 表示考虑前 i 个物品，总重量不超过 j 时能装入的最大价值。假设第 i 个物品的重量为 weight[i]，价值为 value[i]，则有以下状态转移方程：

V(i,j) = max(V(i-1,j), V(i-1, j-weight[i]) + value[i])，其中 i>0, j>=weight[i]

注意，当 j<weight[i] 时，无法装入第 i 个物品，此时 V(i,j) = V(i-1,j)。

最终的解为 V(5,10)，即考虑前 5 个物品，总重量不超过 10 时能装入的最大价值。

以下是详细步骤和代码实现：

1. 定义物品的重量和价值数组：

int weight[] = {2, 5, 4, 2, 3};
int value[] = {6, 3, 5, 4, 6};

2. 定义购物车的容量和物品数量：

int capacity = 10;
int n = 5;

3. 定义二维数组 V 来存储子问题的解：

int V[n+1][capacity+1];

4. 初始化 V 数组：

// 当总重量为 0 时，无论考虑多少个物品都无法装入
for (int i = 0; i <= n; i++) {
    V[i][0] = 0;
}

// 当考虑前 0 个物品时，无论总重量多少都无法装入
for (int j = 0; j <= capacity; j++) {
    V[0][j] = 0;
}

5. 根据状态转移方程计算 V 数组：

for (int i = 1; i <= n; i++) {
    for (int j = 1; j <= capacity; j++) {
        if (j < weight[i-1]) {
            // 无法装入第 i 个物品，继承前 i-1 个物品的最优解
            V[i][j] = V[i-1][j];
        } else {
            // 可以装入第 i 个物品，判断装或不装哪种情况更优
            int value_with_i = V[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1];
            int value_without_i = V[i-1][j];
            V[i][j] = (value_with_i > value_without_i) ? value_with_i : value_without_i;
        }
    }
}

6. 输出最大价值和装入物品：

printf("最大价值为：%d\n", V[n][capacity]);

printf("装入的物品为：");
int j = capacity;
for (int i = n; i > 0; i--) {
    if (V[i][j] > V[i-1][j]) {
        printf("%d ", i);
        j -= weight[i-1];
    }
}

完整代码如下：