2、针对函数，在区间上，取个等距节点，构造拉格朗日插值多项式，并通过作图方式给出及一系列拉格朗日插值多项式，观察Runge现象。 3、在第二题基础上，尝试用分段线性插值来进行逼近，并作图观察逼近效果。

2、假设函数为$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$，在区间$[-5,5]$上取$n$个等距节点，构造拉格朗日插值多项式。

代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def f(x):
    return 1 / (1 + x ** 2)

# 定义拉格朗日插值多项式
def Lagrange(x, y, u):
    n = len(x)
    result = 0
    for i in range(n):
        temp = y[i]
        for j in range(n):
            if j != i:
                temp *= (u - x[j]) / (x[i] - x[j])
        result += temp
    return result

# 取等距节点
n = 10
x = np.linspace(-5, 5, n)
y = f(x)

# 构造插值多项式
u = np.linspace(-5, 5, 1000)
L = Lagrange(x, y, u)

# 绘制函数图像和插值多项式图像
plt.plot(u, f(u), label="f(x)")
plt.plot(u, L, label="Lagrange")
plt.scatter(x, y, color="red")
plt.legend()
plt.show()

结果：


从图中可以看出，当节点数增多时，插值多项式在两侧的误差越来越大，这就是Runge现象。

3、在第二题基础上，尝试用分段线性插值来进行逼近，并作图观察逼近效果。

代码实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 定义函数
def f(x):
    return 1 / (1 + x ** 2)

# 定义分段线性插值函数
def Linear(x, y, u):
    n = len(x)
    if u < x[0]:
        return y[0]
    elif u > x[n-1]:
        return y[n-1]
    else:
        for i in range(n-1):
            if u >= x[i] and u <= x[i+1]:
                return y[i] + (y[i+1] - y[i]) * (u - x[i]) / (x[i+1] - x[i])

# 取等距节点
n = 10
x = np.linspace(-5, 5, n)
y = f(x)

# 构造插值函数
u = np.linspace(-5, 5, 1000)
L = [Linear(x, y, i) for i in u]

# 绘制函数图像和插值多项式图像
plt.plot(u, f(u), label="f(x)")
plt.plot(u, L, label="Linear")
plt.scatter(x, y, color="red")
plt.legend()
plt.show()

结果：


从图中可以看出，分段线性插值对于这个函数的逼近效果相对较好，没有出现Runge现象。但是，如果取的节点数过少，仍然会出现较大的误差。