求解下列递推关系:x(n) = x(n/3) + 1 for n > 1, x(1) = 1
时间: 2023-12-24 12:05:47 浏览: 54
这是一道典型的递归问题,可以使用递归函数来求解。但是由于递归的时间复杂度较高,我们可以使用动态规划的方法来优化。
具体做法如下:
1. 创建一个数组 dp,其中 dp[i] 表示 x(i) 的值。
2. 初始化 dp[1] = 1。
3. 从 i = 2 开始,依次计算 dp[i] 的值。对于每个 i,可以根据递推关系 x(n) = x(n/3) + 1 来计算 dp[i] 的值,即 dp[i] = dp[i/3] + 1。
4. 最终得到 dp[n] 即为所求。
下面是具体的代码实现(使用 Python 语言):
```
def solve(n):
dp = [0] * (n + 1)
dp[1] = 1
for i in range(2, n + 1):
dp[i] = dp[i // 3] + 1
return dp[n]
```
使用该函数可以求解出 x(n) 的值,例如:
```
>>> solve(10)
3
>>> solve(27)
4
```
相关问题
解下列递推关系: x(n) = 3x(n - 1) for n > 1, x(1)= 4
首先我们可以将这个递推关系表示出来:
x(n) = 3x(n-1) (n > 1)
x(1) = 4
我们可以递归地使用这个递推关系来求出 x(n):
x(2) = 3x(1) = 3*4 = 12
x(3) = 3x(2) = 3*12 = 36
x(4) = 3x(3) = 3*36 = 108
...
我们可以发现,x(n) 的值是 3 的 n-1 次方乘以 x(1) 的值,即:
x(n) = 3^(n-1) * x(1)
因此,x(n) = 3^(n-1) * 4。
求解证明题1:求解递推方程并证明结论 求 丁(n)=2T(n/2)+n/logn 的解,
### 回答1:
首先,我们可以将这个式子写成递归形式:
求解时间复杂度为 T(n) = 2T(n/2) + n/log(n) 的问题。
接下来,我们可以使用主定理来求解这个递归式的时间复杂度。
主定理的一般形式是:T(n) = aT(n/b) + f(n),其中 a ≥ 1,b > 1,f(n) 是一个非负函数。
根据主定理,我们可以将 T(n) 的时间复杂度分为以下三种情况:
1. 如果 f(n) = O(n^c) 且 a < b^c,则 T(n) = Θ(n^c)。
2. 如果 f(n) = Θ(n^c log^k(n)),则 T(n) = Θ(n^c log^(k+1)(n))。
3. 如果 f(n) = Ω(n^c) 且 a > b^c,则 T(n) = Θ(f(n))。
根据上述情况,我们可以得到:
- a = 2,b = 2,f(n) = n/log(n),因此,c = log2(2) = 1,k = 0。
- f(n) = Θ(n^c log^k(n)),其中 c = 1,k = 0。
- 因此,根据情况 2,T(n) = Θ(n log(n))。
因此,这个式子的时间复杂度为 Θ(n log(n))。
### 回答2:
首先解递推方程:
根据递推方程 丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn),我们可以将递推式进行展开:
丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn)
= 2 * (2T(n/4) / ((n/2)/(log(n/2))))
= 2² * T(n/4) / ((n/2)/(log(n/2)))²
= 2³ * T(n/8) / ((n/4)/(log(n/4)))³
= ...
= 2^k * T(n/2^k) / ((n/2^k)/(log(n/2^k)))^k
其中,k = logn。
当 n/2^k = 1 时,即 n = 2^k,我们得到 k = logn,意味着到达基本情况。
当 n/2^k = 1,即 n = 2^k,将其代入上述公式,得到:
丁(n) = 2^k * T(1) / (1/(log(1)))^k
= 2^k * T(1) / (1/0)^k (0 的对数是无穷大)
= 2^k * T(1) / 0^k
因为 0 的 k 次方也是无穷大,所以这个递推方程没有明确的解。
综上所述,无法求解递推方程丁(n) = 2T(n/2) / (n/logn) 的解。
### 回答3:
要证明丁(n) = 2T(n/2) n/logn的解,首先需要解递推方程丁(n) = 2T(n/2)。
根据递推方程的定义,丁(n) 的值取决于 2T(n/2)。而T(n/2) 的值又取决于 2T(n/4),以此类推。
假设对于一个特定的K,有丁(2^K) = 2T(2^(K-1))。将这个假设代入递推方程中,我们有:
丁(2^K) = 2T(2^(K-1)) = 2*(2T(2^(K-1)/2)) = 2*(2T(2^(K-2)))
继续代入递推方程中,我们可以得到:
丁(2^K) = 2*(2*(2T(2^(K-2)/2))) = 2*(2*(2T(2^(K-3))))
继续推导下去,我们可以得到:
丁(2^K) = 2*(2*(2*...*(2*T(1)))) = 2^K * T(1)
其中,有K个2相乘。
又因为丁(1) = T(1) = 1/log(1),所以我们可以推断出:
丁(n) = 2^(logn) * T(1) = n * T(1) = n/logn
所以可以得出结论,丁(n) = 2T(n/2) n/logn 的解为 n/logn。