2/3、4/5等数列前n项和

A：对于数列2/3、4/5、6/7、8/9、... ，前n项和可以如下计算：

$\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{2i}{2i+1} = \frac{2}{3} + \frac{8}{9} + \frac{12}{15} + \cdots + \frac{2n}{2n+1}$

将每一项的分子分母进行化简，得到：

$\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{2i}{2i+1} = \sum\limits_{i=1}^{n} \left(1 - \frac{1}{2i+1}\right)$

利用等差数列求和公式，得到：

$\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{2i}{2i+1} = n - \frac{1}{2} \sum\limits_{i=1}^{n} \frac{1}{i+\frac{1}{2}}$

然后利用调和级数的性质，可以得到：

$\sum\limits_{i=1}^{n} \frac{2i}{2i+1} = n - \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{n+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\right)$

因此，对于给定的n，数列前n项和为 $n - \frac{1}{2} \cdot \ln\left(\frac{n+\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}\right)$。