用不动点迭代法求函数在区间内的零点,并用斯帝芬森迭代法加速。
时间: 2023-11-06 18:04:34 浏览: 49
首先,让我们回顾一下不动点迭代法。给定一个函数 $f(x)$,我们可以将其转化为形如 $x=g(x)$ 的不动点形式,其中 $g(x)$ 是一个从 $x$ 映射到自身的函数。通过重复应用 $g(x)$,我们可以得到一个数列 $\{x_n\}$,满足 $x_{n+1}=g(x_n)$。如果 $\{x_n\}$ 收敛到某个值 $x^*$,那么 $x^*$ 就是 $f(x)=0$ 的一个根。
具体来说,我们可以从一个初始点 $x_0$ 出发,重复应用 $g(x)$ 直到收敛,即 $|x_{n+1}-x_n|<\epsilon$,其中 $\epsilon$ 是一个足够小的正数。
斯特林迭代法是一种加速不动点迭代法的技术。它的基本思想是,对于一个足够光滑的函数 $f(x)$,我们可以将其在 $x_n$ 处做泰勒展开,得到:
$$
f(x)=f(x_n)+f'(x_n)(x-x_n)+\frac{1}{2}f''(\xi)(x-x_n)^2
$$
其中 $\xi$ 介于 $x_n$ 和 $x$ 之间。如果我们能够用一个二次函数 $p(x)$ 来逼近 $f(x)$,并且 $p(x)$ 恰好在 $x_n$ 和 $x_{n+1}$ 处与 $f(x)$ 相等,那么我们就可以用 $p(x)$ 来替代 $f(x)$,从而加速迭代。
具体来说,我们可以设 $p(x)=a(x-x_n)^2+b(x-x_n)+c$,并要求 $p(x_n)=f(x_n), p(x_{n+1})=f(x_{n+1})$ 和 $p'(x_{n+1})=f'(x_{n+1})$。通过解这个方程组,我们可以得到:
$$
\begin{aligned}
a &= \frac{f''(\xi)}{2(f(x_{n+1})-f(x_n))} \\
b &= f'(x_{n+1})-2a(x_{n+1}-x_n) \\
c &= f(x_{n+1})-a(x_{n+1}-x_n)^2-b(x_{n+1}-x_n)
\end{aligned}
$$
然后,我们可以计算 $p(x_n)$,并将其设为 $x_{n+1}$,即 $x_{n+1}=p(x_n)$。这样,我们就完成了一次斯特林迭代。
以下是 Python 代码实现:
```python
def fixed_point_iteration(g, x0, eps=1e-6, max_iter=100):
x = x0
for i in range(max_iter):
x_new = g(x)
if abs(x_new - x) < eps:
return x_new
x = x_new
raise ValueError("Failed to converge")
def stefensen_iteration(f, x0, eps=1e-6, max_iter=100):
x = x0
for i in range(max_iter):
x1 = f(x)
x2 = f(x1)
a = (x2 - 2*x1 + x) / ((x2 - x1) ** 2)
b = f(x) - f(x1) / (x - x1)
c = f(x)
x_new = x - 2 * c / (b + (b**2 - 4*a*c)**0.5)
if abs(x_new - x) < eps:
return x_new
x = x_new
raise ValueError("Failed to converge")
```
其中,`fixed_point_iteration` 实现了普通的不动点迭代,`g` 是 $f(x)=0$ 的不动点形式 $x=g(x)$,`x0` 是初始点。`stefensen_iteration` 实现了斯特林迭代,`f` 是 $f(x)$,`x0` 是初始点。在斯特林迭代中,我们用 `x1` 和 `x2` 分别表示 $x_n$ 和 $x_{n+1}$,然后求解二次函数的系数,最后得到 $x_{n+1}$。如果迭代超过了 `max_iter` 次还没有收敛,就会抛出异常。