遗忘因子最小二乘法原理图

### 遗忘因子最小二乘法原理

遗忘因子最小二乘法（Forgetting Factor Least Squares Method, FF-LSM）是在经典最小二乘法基础上引入了一个时间衰减权重的概念，使得新数据被赋予更大的权重而旧的数据逐渐失去影响力。这种方法特别适合处理动态变化的系统参数估计问题。

#### 数学表达式
假设系统的输入输出关系可以由如下线性模型描述：

\[ y(k) = \theta^T\phi(k)+v(k)\]

其中 \(y(k)\) 是第 k 时刻的观测值，\(θ\) 表示待估参数向量，\(φ(k)\) 是已知回归向量，\(v(k)\) 则代表测量噪声。

为了使算法能够适应随时间变化的过程特性，在标准最小二乘准则的基础上加入一个遗忘因子 λ(0<λ≤1)，则目标函数变为:

\[ J(\theta)=\sum_{i=1}^{k}\lambda^{k-i}[y(i)-\theta^T\phi(i)]^2\]

当 λ 接近于 1 时，意味着过去的信息几乎不会被忘记；反之如果 λ 较小，则表明更重视最新的样本信息[^1]。

#### 图表表示
对于遗忘因子最小二乘法的结果展示通常会采用两种类型的图来说明其性能：
- **残差序列图**：用于观察预测误差的变化趋势，理想情况下这些误差应该围绕零均值随机分布。


- **参数轨迹图**：显示随着迭代次数增加各个未知参数估值如何收敛至真实值附近。