R语言求无信息先验正态分布的均值的可信水平为0.9的HDP可信区间

假设有一组样本 $x_1, x_2, \cdots, x_n$，它们来自一个正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，其中 $\mu$ 是未知的均值，$\sigma$ 已知。我们需要求解一个可信区间，使得该区间内的 $\mu$ 值的可信度为0.9。

由于我们假设 $\mu$ 服从无信息先验的正态分布，因此我们可以使用贝叶斯方法得到后验分布，并由此计算可信区间。

根据贝叶斯公式，后验分布为：

$$
p(\mu|x_1, x_2, \cdots, x_n) \propto p(x_1, x_2, \cdots, x_n|\mu) p(\mu)
$$

其中 $p(x_1, x_2, \cdots, x_n|\mu)$ 是样本的似然函数，它可以表示为：

$$
p(x_1, x_2, \cdots, x_n|\mu) = \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} \exp \left( -\frac{(x_i - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$

将 $p(x_1, x_2, \cdots, x_n|\mu)$ 和 $p(\mu)$ 带入贝叶斯公式中，我们可以得到后验分布：

$$
p(\mu|x_1, x_2, \cdots, x_n) \propto \exp \left( -\frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2 \right) \exp \left( -\frac{(\mu - \mu_0)^2}{2\tau^2} \right)
$$

其中，$\mu_0$ 和 $\tau$ 分别是先验分布的均值和标准差。根据正态分布的性质，我们可以将后验分布表示为：

$$
p(\mu|x_1, x_2, \cdots, x_n) \sim N \left( \frac{\frac{\mu_0}{\tau^2} + \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\sigma^2}}{\frac{1}{\tau^2} + \frac{n}{\sigma^2}}, \left(\frac{1}{\frac{1}{\tau^2} + \frac{n}{\sigma^2}}\right)^2 \right)
$$

因此，可信区间可以表示为：

$$
\left[ \frac{\frac{\mu_0}{\tau^2} + \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\sigma^2}}{\frac{1}{\tau^2} + \frac{n}{\sigma^2}} - z_{\alpha/2} \left(\frac{1}{\frac{1}{\tau^2} + \frac{n}{\sigma^2}}\right), \frac{\frac{\mu_0}{\tau^2} + \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{\sigma^2}}{\frac{1}{\tau^2} + \frac{n}{\sigma^2}} + z_{\alpha/2} \left(\frac{1}{\frac{1}{\tau^2} + \frac{n}{\sigma^2}}\right) \right]
$$

其中，$z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。

因此，我们可以使用上面的公式来计算可信区间。需要注意的是，由于这是一个贝叶斯方法，因此我们需要指定先验分布的参数 $\mu_0$ 和 $\tau$。如果没有先验信息，可以选择一个较宽的先验分布，例如 $\mu_0=0$，$\tau=100$。