给定一个m×n的网格，每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时，每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。样列1： 输入：grid = [[1,3,1],[1,5,1],[4,2,1]] 输出：7 解释：因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。

这个问题是一个典型的动态规划问题。我们可以定义状态 $dp[i][j]$ 表示到达网格 $(i,j)$ 的最小路径和，那么状态转移方程可以表示为：

$$dp[i][j]=\min(dp[i-1][j],dp[i][j-1])+grid[i][j]$$

其中 $grid[i][j]$ 表示网格 $(i,j)$ 的值，边界条件为 $dp[0][0]=grid[0][0]$，$dp$ 数组的大小为 $(m+1)\times(n+1)$，这样可以避免边界判断。

最终的答案为 $dp[m][n]$。

下面是实现代码：

相关问题

给定一个m×n的网格，每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时，每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法解决。

设 $dp[i][j]$ 表示从左上角到网格 $(i,j)$ 的最小路径和。则有以下状态转移方程：

$$
dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
$$

其中 $grid$ 表示给定的网格，$dp[0][0] = grid[0][0]$。

最终的答案为 $dp[m-1][n-1]$。

代码实现如下：

def minPathSum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0] * n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = grid[0][0]

    # 初始化第一列和第一行
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]

    # 动态规划
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]

    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度：$O(mn)$。

给定一个m×n的网格,每个格子上包含一个非负整数。在网格上移动时,每次只能向下或者向右移动一步。请找出一条从左上角到右下角的路径,使得路径上的数字总和为最小。

这是一个经典的动态规划问题，可以使用动态规划算法来解决。

设 $dp[i][j]$ 表示从左上角到网格 $(i,j)$ 的最小路径和，$grid[i][j]$ 表示网格 $(i,j)$ 上的数字。

边界情况：

当 $i=0$ 且 $j=0$ 时，$dp[i][j] = grid[i][j]$。

当 $i=0$ 且 $j≠0$ 时，$dp[i][j] = dp[i][j-1] + grid[i][j]$。

当 $i≠0$ 且 $j=0$ 时，$dp[i][j] = dp[i-1][j] + grid[i][j]$。

状态转移方程：

当 $i≠0$ 且 $j≠0$ 时，$dp[i][j] = \min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]$。

最终的结果为 $dp[m-1][n-1]$。

Python 代码实现如下：

def minPathSum(grid):
    m, n = len(grid), len(grid[0])
    dp = [[0]*n for _ in range(m)]
    dp[0][0] = grid[0][0]
    for i in range(1, m):
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
    for j in range(1, n):
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
    for i in range(1, m):
        for j in range(1, n):
            dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
    return dp[m-1][n-1]

时间复杂度为 $O(mn)$，空间复杂度为 $O(mn)$。