SVD using double-sided Jacobi method Matlab代码讲解和举例

SVD（奇异值分解）是一种重要的矩阵分解方法，可以将一个矩阵分解为三个矩阵的乘积：$A = U\Sigma V^T$。其中，$A$是$m\times n$的矩阵，$U$是$m\times m$的正交矩阵，$\Sigma$是$m\times n$的对角矩阵，且对角线上的元素按照降序排列，$V$是$n\times n$的正交矩阵。SVD的应用非常广泛，包括数据压缩、信号处理、图像处理等领域。

本文将介绍使用双边Jacobi方法（Double-Sided Jacobi Method）来计算SVD的Matlab代码，并通过一个实例来说明其用法。

双边Jacobi方法是一种迭代算法，每一次迭代都会旋转两个正交矩阵，直到达到某个停止条件为止。该算法的优点是能够同时计算出$U$和$V$，且不需要显式地计算$A^TA$和$AA^T$，因此适用于大规模稠密矩阵的SVD计算。

下面是使用双边Jacobi方法计算SVD的Matlab代码：

function [U,S,V] = svd_jacobi(A)
% SVD using double-sided Jacobi method
% A: m x n matrix
% U: m x m orthogonal matrix
% S: m x n diagonal matrix with singular values in decreasing order
% V: n x n orthogonal matrix

[m,n] = size(A);
if m < n % SVD of A' is computed instead
    [U,S,V] = svd_jacobi(A');
    V = U';
    U = V';
    return;
end

U = eye(m);
V = eye(n);
S = A;

tol = 1e-10; % tolerance for convergence
max_iter = 1000; % maximum number of iterations
iter = 0;

while max(max(abs(triu(S,1)))) > tol && iter < max_iter
    [p,q] = find(abs(triu(S,1)) == max(max(abs(triu(S,1))))); % indices of largest off-diagonal element
    p = p(1); q = q(1);
    theta = atan2(2*S(p,q),S(q,q)-S(p,p))/2;
    J = eye(m);
    J(p,p) = cos(theta);
    J(q,q) = cos(theta);
    J(p,q) = sin(theta);
    J(q,p) = -sin(theta);
    U = U*J';
    S = J*S*J';
    J = eye(n);
    J(p,p) = cos(theta);
    J(q,q) = cos(theta);
    J(p,q) = sin(theta);
    J(q,p) = -sin(theta);
    V = V*J';
    iter = iter + 1;
end

S = diag(diag(S));

该代码的基本思路是：将输入矩阵$A$初始化为$S$，并将$U$和$V$初始化为单位矩阵。然后，每次迭代都会找到$S$中最大的非对角元素，并将其对应的行和列进行旋转，使其变成对角矩阵。同时，$U$和$V$也进行相应的旋转，以保持正交性。当$S$的非对角元素的最大值小于某个阈值或者迭代次数超过某个上限时，算法停止。

下面是一个例子，演示如何使用该代码来计算SVD：

% generate a random matrix
A = randn(5,3);

% compute SVD using built-in function
[U1,S1,V1] = svd(A);

% compute SVD using Jacobi method
[U2,S2,V2] = svd_jacobi(A);

% compare the results
disp('U1 - U2:');
disp(norm(U1-U2));
disp('S1 - S2:');
disp(norm(S1-S2));
disp('V1 - V2:');
disp(norm(V1-V2));

该例子中，首先生成一个$5\times 3$的随机矩阵$A$，然后分别使用Matlab内置函数`svd`和双边Jacobi方法计算SVD。最后，通过计算两种方法得到的$U$、$S$和$V$之间的欧几里德距离，来比较它们的差异。

希望本文可以帮助你理解SVD和双边Jacobi方法的基本思路，并能够使用Matlab代码进行计算。