C++ 01背包问题模板

### 回答1：
C 01 背包问题是一种经典的动态规划问题。它的基本思想是：给定一个容量为 C 的背包和 N 个物品，每个物品都有自己的体积和价值，求在满足背包容量限制的前提下，能够装入背包中的物品的最大价值总和。

解决该问题的常用模板为：

1. 定义状态：定义 dp[i][j] 表示考虑前 i 个物品，容量为 j 的背包能够装入物品的最大价值总和。

2. 状态计算：根据背包的容量限制和物品的体积和价值，使用递推公式进行状态转移。

- dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-v[i]] + w[i])

其中，v[i] 和 w[i] 分别表示第 i 个物品的体积和价值。

3. 边界：考虑边界条件，dp[0][j]=0，dp[i][0]=0。

4. 计算结果：遍历整个 dp 数组，找到一个使得 dp[N][j] 最大的 j 值，即为答案。

### 回答2：
01背包问题是一个常见的动态规划问题，其求解的目标是从给定的一组物品中选择若干个物品放入背包中，使得所选物品的总重量不超过背包容量，同时所选物品的总价值最大。

这个问题可以使用动态规划来求解。我们可以建立一个二维的dp数组，其中dp[i][j]表示当背包容量为j时，前i个物品能够达到的最大总价值。

在动态规划的过程中，我们可以根据以下递推关系来更新dp数组的值：

1. 当前物品的重量大于背包容量，即weights[i]>j时，无法放入当前物品，继承上一行的值，即dp[i][j] = dp[i-1][j]；
2. 当前物品的重量小于等于背包容量，即weights[i] <= j时，有两种选择：
a. 不放入当前物品，即继承上一行的值，dp[i][j] = dp[i-1][j]；
b. 放入当前物品，即选择当前物品的总价值为dp[i-1][j-weights[i]] + values[i]；
然后取两种选择中的较大值作为dp[i][j]的值。

最后，dp[n][w]就是所求的问题的最优值，其中n表示物品的数量，w表示背包的容量。

通过使用上述的递推关系，可以在时间复杂度为O(nw)的情况下求解01背包问题。

### 回答3：
01背包问题是一个经典的动态规划问题，常常用来解决在背包容量有限的情况下，如何选择物品放入背包以使得总价值最大化的问题。具体模板如下：

1. 定义状态：
- 设有 n 个物品，背包的容量为 V ，第 i 个物品的重量为 w[i] ，价值为 v[i] 。
- 定义 dp[i][j] 表示在前 i 个物品中，当背包容量为 j 时所能获得的最大价值。

2. 初始化边界条件：
- 对于 dp[i][0] ，即背包容量为 0 的情况，无论前 i 个物品如何选择，所能获得的价值都为 0 。
- 对于 dp[0][j] ，即没有物品可选时，无论背包容量为多少，所能获得的价值都为 0 。

3. 状态转移方程：
- 当 j >= w[i] 时，dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i]] + v[i]) 。
- 当 j < w[i] 时，dp[i][j] = dp[i-1][j] 。

4. 遍历求解：
- 外层循环 i 为物品的索引，从 1 到 n 。
- 内层循环 j 为背包的容量，从 1 到 V 。
- 根据状态转移方程更新 dp[i][j] 。

5. 返回结果：
- dp[n][V] 即为当背包容量为 V 时，前 n 个物品能够获得的最大价值。

通过以上模板，我们可以在给定一组物品重量和价值，以及背包的容量后，使用动态规划的方法求解出最大化的总价值。