已知a>0，b>0，用均值不等式求解((b+2)^2)/a+((a+2)^2)/b的最小值

根据均值不等式，对于任意的正实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n$，有：

$$
\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geqslant\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}
$$

取 $n=2$，得到：

$$
\frac{x_1+x_2}{2}\geqslant\sqrt{x_1x_2}
$$

移项得到：

$$
\frac{x_1}{2}+\frac{x_2}{2}\geqslant\sqrt{x_1x_2}
$$

对于题目中的式子，我们可以将其拆分为两个部分：

$$
\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b}=\frac{b^2}{a}+\frac{4b}{a}+4a+\frac{a^2}{b}+\frac{4a}{b}+4b
$$

对于第一项 $\frac{b^2}{a}+\frac{4b}{a}$ 和第四项 $\frac{a^2}{b}+\frac{4a}{b}$，我们可以使用均值不等式来处理，即：

$$
\frac{b^2}{a}+\frac{4b}{a}\geqslant 2\sqrt{\frac{b^2}{a}\cdot\frac{4b}{a}}=4\sqrt{b}
$$

$$
\frac{a^2}{b}+\frac{4a}{b}\geqslant 2\sqrt{\frac{a^2}{b}\cdot\frac{4a}{b}}=4\sqrt{a}
$$

将这两个不等式代入原式，得到：

$$
\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b}\geqslant 4\sqrt{b}+4a+4\sqrt{a}+4b
$$

再次使用均值不等式，将 $4\sqrt{b}$ 和 $4\sqrt{a}$ 相加：

$$
\frac{4\sqrt{b}+4\sqrt{a}}{2}\geqslant \sqrt{4\sqrt{b}\cdot 4\sqrt{a}}=4\sqrt[4]{ab}
$$

将其代入上式，得到：

$$
\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b}\geqslant 4\sqrt[4]{ab}+4a+4b
$$

我们知道，$a$ 和 $b$ 都是正实数，所以 $4\sqrt[4]{ab}+4a+4b$ 最小值为 $12\sqrt[3]{ab}$，即：

$$
\frac{(b+2)^2}{a}+\frac{(a+2)^2}{b}\geqslant 12\sqrt[3]{ab}
$$

因此，原式的最小值为 $12\sqrt[3]{ab}$。