令 $a_t$ 为 i.i.d. 标准正态随机变量。假设白噪声序列 (包括 ARMA 模型定义 中的白噪声) 指的是线性不相关的序列; 即白噪声序列的方差不一定为常数。 (a) 考虑一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型 $(\mathrm{ARCH})$, $$ Z_t=a_t \sqrt{1+0.5 Z_{t-1}^2+0.3 Z_{t-2}^2} $$ $Z_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 令 $X_t=Z_t^2, X_t$ 是否服从一个 ARMA 模型? 请 简述你的理由。

对于一个平稳且有因果关系的自回归条件异方差模型$(ARCH)$，$Z_t=a_t\sqrt{1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2}$，其中$a_t$为i.i.d.标准正态随机变量。

我们可以将其转化为下面的形式：
$$
Z_t=\varepsilon_t+\sum_{i=1}^{2}\phi_iZ_{t-i},
$$
其中$\varepsilon_t=a_t\sqrt{1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2}-a_t$为误差项。

可以看出，该模型中$Z_t$的取值不仅仅取决于自身的历史取值，还取决于其过去的两个平方项。因此，$Z_t$不满足ARMA模型的条件，因为ARMA模型要求时间序列的取值仅仅取决于自身的历史取值。

对于$X_t=Z_t^2$，我们可以将其表示为$X_t=Z_t^2$。可以看出，$X_t$的取值只取决于$Z_t$的平方项，而与$Z_t$自身的取值无关。因此，$X_t$的取值仅仅取决于自身的历史取值，满足ARMA模型的条件。具体地，$X_t$可以表示为下面的形式：
$$
X_t=\varepsilon_t^2+\sum_{i=1}^{2}\phi_i^2X_{t-i}+\theta_1\varepsilon_{t-1}^2+\theta_2\varepsilon_{t-2}^2+2\theta_1\phi_1X_{t-1}+2\theta_1\phi_2X_{t-2}+2\theta_2\phi_1X_{t-2},
$$
其中$\varepsilon_t=a_t\sqrt{1+0.5Z_{t-1}^2+0.3Z_{t-2}^2}-a_t$为误差项，$\phi_i=\mathrm{cov}(Z_t^2,Z_{t-i}^2)/\mathrm{var}(Z_{t-i}^2)$为自协方差系数。因此，$X_t$满足ARMA模型的条件。