变刚度弹簧阻尼双足模型，单支撑阶段动力学方程

变刚度弹簧阻尼双足模型是一种常用于描述双足行走动力学的模型，它包括两条腿，每条腿由腿部质量、腿部中心质量、膝关节和脚底组成。在单支撑阶段，即一只腿着地支撑身体重量，动力学方程如下：

$m_b \ddot{x}_b = m_b g - F_{c,x} - F_{p,x} - F_{d,x}$
$m_b \ddot{y}_b = -F_{c,y} - F_{p,y} - F_{d,y}$
$I_b \ddot{\theta}_b = -F_{c,y} h - F_{p,y} (h - l_p) + F_{d,y} l_d$

其中，$m_b$是身体质量，$\ddot{x}_b$和$\ddot{y}_b$分别是身体质心在x和y方向上的加速度，$g$是重力加速度，$F_{c,x}$和$F_{c,y}$是地面反作用力在x和y方向上的分量，$F_{p,x}$和$F_{p,y}$是弹簧力在x和y方向上的分量，$F_{d,x}$和$F_{d,y}$是阻尼力在x和y方向上的分量，$I_b$是身体绕z轴的转动惯量，$\ddot{\theta}_b$是身体绕z轴的角加速度，$h$是身体质心到支撑脚的距离，$l_p$是弹簧自然长度，$l_d$是阻尼器长度。

其中，地面反作用力可以通过测量支撑脚的接触力得到，弹簧力和阻尼力可以用以下公式计算：

$F_{p,y} = k_{p,y} (y_b - y_s - l_p)$
$F_{d,y} = k_{d,y} \dot{y}_b$

其中，$k_{p,y}$和$k_{d,y}$分别是弹簧刚度和阻尼系数，$y_b$是身体质心在y方向上的位置，$y_s$是地面高度。

在单支撑阶段，腿部力学方程为：

$m_l \ddot{x}_l = -F_{l,x}$
$m_l \ddot{y}_l = -F_{l,y} - m_l g$
$I_l \ddot{\theta}_l = -F_{l,y} d$

其中，$m_l$是腿部质量，$\ddot{x}_l$和$\ddot{y}_l$分别是腿部质心在x和y方向上的加速度，$F_{l,x}$和$F_{l,y}$是地面反作用力在x和y方向上的分量，$I_l$是腿部绕z轴的转动惯量，$\ddot{\theta}_l$是腿部绕z轴的角加速度，$d$是腿部质心到支撑脚的距离。

可以通过求解以上动力学方程，得到双足模型在单支撑阶段的运动状态。